Encontre o conjunto solução.
(\frac{x{3}-x}{x{3}-27}
ge 0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^3-xx^3-27>= 0
Este é um problema de inequação racional: vamos fatorar numerador e denominador, determinar o domínio e analisar o sinal em cada intervalo crítico.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^3-x = x(x^2-1)=x(x-1)(x+1),
x^3-27=(x-3)l(x^2+3x+9r)
Note que x^2+3x+9 não se anula (discriminante negativo), logo seu sinal é sempre positivo. Portanto o sinal do denominador depende só de x-3. O domínio exige x^3-27neq0, ou seja xneq3.

Passo 3

Os pontos críticos que zeram numerador ou denominar bloqueiam o domínio são
x=-1, x=0, x=1, x=3
Dividimos a reta em cinco intervalos e avaliamos o sinal de cada fator:
c|cccccc x & (-infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,3) & 3 & (3,infty)hline x & - & 0 & - & 0 & + & 0 & + & & + x-1 & - & - & - & - & - & 0 & + & + & + x+1 & - & 0 & + & + & + & + & + & + & + x-3 & - & - & - & - & - & - & - & 0 & +hline num & (-)(-)(-) = - & 0 & (-)(-)(+) = + & 0 & (+)(-)(+) = - & 0 & (+)(+)(+)=+ & & (+)(+)(+)=+ den & - & - & - & - & - & - & - & & + quoc& + & 0 & & 0 & + & 0 & & & +
Onde “–” indica valor negativo, “+” positivo e “0” raiz do numerador. O traço em denom. em x=3 indica valor indefinido.

Passo 4

A inequação quer x^3-xx^3-27>=0, isto é se̲mides >0 ou igual a zero. Dos sinais obtidos, temos
x^3-xx^3-27>0em(-infty,-1),cup,(0,1),cup,(3,infty),
e x^3-xx^3-27=0 em x=-1,0,1. Em x=3 a função não está definida.

Resposta

(-infty,-1] ;cup; [0,1] ;cup; (3,infty)

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