Ache a solução particular para os problemas de valor inicial dados.
y^prime=x(y^2+1)(x-1) y^3 e y(2)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da equação diferencial de primeira ordem
y^prime = xl(y^2+1r)(x-1),y^3
com condição inicial y(2)=2.
Este é um problema de variáveis separáveis; vamos separar x e y, integrar ambos os lados e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dydx = x,(y^2+1)(x-1),y^3 Longrightarrow y^3y^2+1,dy = xx-1,dx

Passo 3

Integramos o lado em y. Observando que
y^3y^2+1 = y - yy^2+1,
temos
integral y^3y^2+1,dy = integral l(y - yy^2+1r)dy = y^22 - 12lnl(y^2+1r)

Passo 4

Integramos o lado em x. Notando que
xx-1 = 1 + 1x-1,
obtemos
integral xx-1,dx = integral!1,dx + integral 1x-1,dx = x + lnl|x-1r|

Passo 5

Igualando as duas integrais mais a constante C, obtemos
y^22 - 12lnl(y^2+1r) = x + lnl|x-1r| + C
Multiplicando por 2 e juntando constantes:
y^2 - lnl(y^2+1r) = 2x + 2lnl|x-1r| + C1
Para x=2 e y=2:
4 - ln(5) = 4 + 2ln|1| + C1 ;Longrightarrow;C1 = -ln(5)

Passo 6

Substituindo C1 na relação implícita, a solução particular fica
y^2 - lnl(y^2+1r) = 2x + 2lnl|x-1r| - ln(5)

Resposta

A solução particular (implícita) é
y^2 - ln!l(y^2+1r) = 2x + 2ln!l|x-1r| - ln(5)

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