Ache uma solução de x d yd x=y^2-y que passe pelos pontos
(2, 14)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial: $ x \frac{dy}{dx} = y^{2} - y $. Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e passa pelo ponto $ \left(2, \frac{1}{4}\right) $. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar $ y $ de um lado e $ x $ do outro para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Começamos dividindo ambos os lados por $ y^{2} - y $:
y
Agora, as variáveis estão separadas: $ y $ de um lado e $ x $ do outro.

Passo 3

Vamos simplificar a parte da $ y $ antes de integrar. A expressão $ \frac{1}{y^{2} - y} $ pode ser fatorada:
y
Então, temos:
1y^2 - y
Isso nos permite reescrever a integral:
y^2 - y = y(y - 1)

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral ( 1y - 1 - 1y ) dy = ln|y - 1| - ln|y| + C1
E do lado direito:
integral 1x dx = ln|x| + C2
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 5

Vamos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
y - 1y = Kx
Onde $ K = e^{C} $ é uma nova constante. Agora, resolvemos para $ y $:
K = e^C

Passo 6

Agora, usamos o ponto dado $ \left(2, \frac{1}{4}\right) $ para encontrar o valor de $ K $:
(2, 14)

Resposta

A solução da equação diferencial que passa pelo ponto $ \left(2, \frac{1}{4}\right) $ é:
(2, 14)

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