Ache uma solução de
que passe pelos pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial: $ x \frac{dy}{dx} = y^{2} - y $. Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e passa pelo ponto $ \left(2, \frac{1}{4}\right) $. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar $ y $ de um lado e $ x $ do outro para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Começamos dividindo ambos os lados por $ y^{2} - y $:
Agora, as variáveis estão separadas: $ y $ de um lado e $ x $ do outro.
Passo 3
Vamos simplificar a parte da $ y $ antes de integrar. A expressão $ \frac{1}{y^{2} - y} $ pode ser fatorada:
Então, temos:
Isso nos permite reescrever a integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
E do lado direito:
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
Passo 5
Vamos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde $ K = e^{C} $ é uma nova constante. Agora, resolvemos para $ y $:
Passo 6
Agora, usamos o ponto dado $ \left(2, \frac{1}{4}\right) $ para encontrar o valor de $ K $:
Resposta
A solução da equação diferencial que passa pelo ponto $ \left(2, \frac{1}{4}\right) $ é: