Calcule os pontos críticos da função f(x, y)=x^2 y^2-x y^3-x^2-10 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} - x y^{3} - x^{2} - 10 x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ x $:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ y $:
f

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
2xy^2 - y^3 - 2x - 10 = 0 2x^2y - 3x y^2 = 0

Passo 5

Vamos simplificar a segunda equação do sistema:
2x^2y - 3x y^2 = 0
Podemos fatorar $ x y $:
x y
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ 2x - 3y = 0 $ ou seja, $ y = \frac{2x}{3} $

Passo 6

Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: $ x = 0 $
Substituímos $ x = 0 $ na primeira equação:
x = 0
Resolvendo para $ y $:
x = 0
Então, temos um ponto crítico: $ (0, -\sqrt[3]{10}) $
Caso 2: $ y = \frac{2x}{3} $
Substituímos $ y = \frac{2x}{3} $ na primeira equação:
2(0)y^2 - y^3 - 2(0) - 10 = -y^3 - 10 = 0
Simplificando:
y
-y^3 - 10 = 0 implies y^3 = -10 implies y = -raiz[3]10
Multiplicando tudo por 27 para eliminar os denominadores:
(0, -raiz[3]10)
Simplificando:
y = 2x3
Dividindo por 2:
y = 2x3
Esta é uma equação cúbica que pode ser resolvida por métodos numéricos ou fatoração. Vamos tentar fatorar:
Testando $ x = 3 $:
2x(2x3)^2 - (2x3)^3 - 2x - 10 = 0
Então, $ x = 3 $ é uma raiz. Podemos fatorar:
2x cdot 4x^29 - 8x^327 - 2x - 10 = 0
Resolvendo $ 8x^{2} + 24x + 45 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
8x^39 - 8x^327 - 2x - 10 = 0
Como o discriminante é negativo ($ 576 - 1440 = -864 $), não há soluções reais adicionais. Portanto, o único valor real é $ x = 3 $.
Substituindo $ x = 3 $ em $ y = \frac{2x}{3} $:
24x^3 - 8x^3 - 54x - 270 = 0
Então, temos outro ponto crítico: $ (3, 2) $

Resposta

Os pontos críticos da função são $ (0, -\sqrt[3]{10}) $ e $ (3, 2) $.

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