Calcule os pontos críticos da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} - x y^{3} - x^{2} - 10 x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ y $:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda equação do sistema:
Podemos fatorar $ x y $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ 2x - 3y = 0 $ ou seja, $ y = \frac{2x}{3} $
Passo 6
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: $ x = 0 $
Substituímos $ x = 0 $ na primeira equação:
Resolvendo para $ y $:
Então, temos um ponto crítico: $ (0, -\sqrt[3]{10}) $
Caso 2: $ y = \frac{2x}{3} $
Substituímos $ y = \frac{2x}{3} $ na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 27 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Dividindo por 2:
Esta é uma equação cúbica que pode ser resolvida por métodos numéricos ou fatoração. Vamos tentar fatorar:
Testando $ x = 3 $:
Então, $ x = 3 $ é uma raiz. Podemos fatorar:
Resolvendo $ 8x^{2} + 24x + 45 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo ($ 576 - 1440 = -864 $), não há soluções reais adicionais. Portanto, o único valor real é $ x = 3 $.
Substituindo $ x = 3 $ em $ y = \frac{2x}{3} $:
Então, temos outro ponto crítico: $ (3, 2) $
Resposta
Os pontos críticos da função são $ (0, -\sqrt[3]{10}) $ e $ (3, 2) $.