Verifigue que o teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F(x, y, z)=y i+z j+x k, S é a parte do parabolóide z=1-x^2-y^2 que está acima do plano z=0 e C é a curva fronteira de S com orientação positiva quando visto de cima para baixo e S tem orientação para fora.
( 4.0 pontos)

Passo 1

Vamos verificar o teorema de Stokes para o campo vetorial vec F(x,y,z)=y,vec i+z,vec j+x,vec k, a superfície S dada por z=1-x^2-y^2, z>=0, e a curva fronteira C no círculo x^2+y^2=1 orientada no sentido positivo visto de cima. O conteúdo aqui é o enunciado do teorema de Stokes, que diz
que
ointCvec Fcdot dvec r=integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS

Passo 2

Vamos calcular nablatimesvec F. Usando a definição via determinante:
nablatimesvec F=vec i&vec j&vec k partialx&partialy&partialz y&z&x =l(0-1,-(1-0),0-1r)=(-1,-1,-1)

Passo 3

Agora avaliamos o lado da superfície:
Parametrizamos S como vec r(x,y)=(x,y,1-x^2-y^2) em D:,x^2+y^2<=1. A normal para fora (positiva em z) satisfaz
$$d\vec S=\hat n,dS=(-f_x,-f_y,1),dx,dy=(2x,2y,1),dx,dy,
$$pois dvec S=hat n,dS=(-fx,-fy,1),dx,dy=(2x,2y,1),dx,dy, , f(x,y)=1-x^2-y^2, fx=-2x. Logo
$$(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S=(-1,-1,-1)\cdot(2x,2y,1)= -2x-2y-1.
fy=-2yí\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n,dS=\iint_D(-2x-2y-1),dx,dy.
$$Os termos em (nablatimesvec F)cdot dvec S=(-1,-1,-1)cdot(2x,2y,1)= -2x-2y-1 e integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS=integral duplaD(-2x-2y-1),dx,dy são ímpares no disco e somam zero, restando
x

Passo 4

Agora calculamos o lado da curva C:
Parametrizamos C em z=0 por
x=cos t, y=sin t, z=0, tin[0,2pi],
no sentido anti-horário visto de cima. Então
$$\vec F=\bigl(\sin t,0,\cos t\bigr),\quad d\vec r=(-\sin t,\cos t,0),dt,
$$
$$\vec F\cdot d\vec r=\sin t(-\sin t)+0+0=-\sin^2t,
$$
vec F=l(sin t,0,cos tr), dvec r=(-sin t,cos t,0),dt,

Passo 5

Como os dois lados dão -pi, concluímos que a igualdade do teorema de Stokes se verifica.

Resposta

Ambos os integrais (superfície e curva) valem -pi, logo o teorema de Stokes é confirmado.

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