Verifigue que o teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial , é a parte do parabolóide que está acima do plano e é a curva fronteira de com orientação positiva quando visto de cima para baixo e tem orientação para fora. ( 4.0 pontos)
Passo 1
Vamos verificar o teorema de Stokes para o campo vetorial , a superfície dada por , , e a curva fronteira no círculo orientada no sentido positivo visto de cima. O conteúdo aqui é o enunciado do teorema de Stokes, que diz
que
Passo 2
Vamos calcular . Usando a definição via determinante:
Passo 3
Agora avaliamos o lado da superfície:
Parametrizamos S como vec r(x,y)=(x,y,1-x^2-y^2) em D:,x^2+y^2<=1. A normal para fora (positiva em z) satisfaz
$$Os termos em (nablatimesvec F)cdot dvec S=(-1,-1,-1)cdot(2x,2y,1)= -2x-2y-1 e integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS=integral duplaD(-2x-2y-1),dx,dy são ímpares no disco e somam zero, restando
x
Passo 4
Agora calculamos o lado da curva C:
Parametrizamos C em z=0 por
x=cos t, y=sin t, z=0, tin[0,2pi],
no sentido anti-horário visto de cima. Então
$$\vec F=\bigl(\sin t,0,\cos t\bigr),\quad d\vec r=(-\sin t,\cos t,0),dt,