Ache a solução do problema de valor inicial
,
Passo 1
O enunciado (como foi passado) dá a equação diferencial e uma condição inicial, mas parece incompleto. O que eu tenho é:
- Equação dada:
. - Condição inicial dada:
. - O enunciado menciona
mas não informa um valor numérico para .
Observação: há uma pequena imagem enviada onde algo está circulado, mas não consigo ter certeza do valor que ali aparece. Como não posso inventar esse valor, vou resolver o problema de forma geral em função de
. Se você tiver o valor numérico de
, basta substituir no final.
Passo 2
Qual o método que vamos usar?
Aqui temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com o segundo membro conhecido (uma função de ). A forma mais direta é integrar duas vezes: integrar
em relação a
para obter
, e integrar novamente para obter
. Sempre que integramos, aparecem constantes de integração que serão determinadas pelas condições iniciais. Vou explicar cada integração passo a passo.
Aqui temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com o segundo membro conhecido (uma função de
Passo 3
Integrando a equação
uma vez em relação a
obtemos
. A integral indefinida de
é:
onde
é uma constante de integração. Portanto:
Comentário didático: a operação que fiz foi a antiderivada. A constante
aparece porque a derivada de uma constante é zero, então não conseguimos recuperá-la ao derivar. Mais um exemplo rápido: se
então
.
Passo 4
Agora relacionamos
com a condição inicial para
. Avaliando em
temos:
Logo
. Como o enunciado não deu o valor numérico de
, vou continuar com
escrito como
.
Passo 5
Integramos novamente para obter
. Integramos
:
onde
é outra constante de integração. Portanto:
Passo 6
Usamos a condição inicial
para determinar
. Avaliando em
:
Como
, segue
. Já tínhamos
. Substituindo ambos na expressão de
obtemos a solução geral compatível com as condições dadas:
Passo 7
Interpretação final e como usar na prova:
- Ao ver
função de , sempre pense em integrar para encontrar e . - Lembre-se que a primeira integração adiciona uma constante que é exatamente
se você avaliar em . A segunda integração adiciona outra constante que é se avaliada em . - Se o problema fornecer um valor numérico para
, por exemplo , basta substituir na fórmula final para obter .