(1,0) Ache a solução do problema de valor inicial y^{\prime \prime}=4 t, y(0)=0, y^{\prime}(0)

Passo 1

O enunciado (como foi passado) dá a equação diferencial e uma condição inicial, mas parece incompleto. O que eu tenho é:
  • Equação dada: y''=4t.
  • Condição inicial dada: y(0)=0.
  • O enunciado menciona y'(0) mas não informa um valor numérico para y'(0).
Observação: há uma pequena imagem enviada onde algo está circulado, mas não consigo ter certeza do valor que ali aparece. Como não posso inventar esse valor, vou resolver o problema de forma geral em função de y'(0). Se você tiver o valor numérico de y'(0), basta substituir no final.

Passo 2

Qual o método que vamos usar?
Aqui temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com o segundo membro conhecido (uma função de t). A forma mais direta é integrar duas vezes: integrar y'' em relação a t para obter y', e integrar novamente para obter y. Sempre que integramos, aparecem constantes de integração que serão determinadas pelas condições iniciais. Vou explicar cada integração passo a passo.

Passo 3

Integrando a equação y''=4t uma vez em relação a t obtemos y'. A integral indefinida de 4t é:
\int 4t\,dt = 2t^2 + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Portanto:
y'(t)=2t^2 + C_1.
Comentário didático: a operação que fiz foi a antiderivada. A constante C_1 aparece porque a derivada de uma constante é zero, então não conseguimos recuperá-la ao derivar. Mais um exemplo rápido: se f'(t)=6t então f(t)=3t^2 + C.

Passo 4

Agora relacionamos C_1 com a condição inicial para y'. Avaliando em t=0 temos:
y'(0)=2\cdot 0^2 + C_1 = C_1.
Logo C_1 = y'(0). Como o enunciado não deu o valor numérico de y'(0), vou continuar com C_1 escrito como y'(0).

Passo 5

Integramos novamente para obter y(t). Integramos y'(t)=2t^2 + C_1:
\int (2t^2 + C_1)\,dt = \frac{2}{3}t^3 + C_1 t + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Portanto:
y(t)=\frac{2}{3}t^3 + C_1 t + C_2.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=0 para determinar C_2. Avaliando em t=0:
y(0)=\frac{2}{3}\cdot 0^3 + C_1\cdot 0 + C_2 = C_2.
Como y(0)=0, segue C_2=0. Já tínhamos C_1=y'(0). Substituindo ambos na expressão de y(t) obtemos a solução geral compatível com as condições dadas:
y(t)=\frac{2}{3}t^3 + y'(0)\,t.

Passo 7

Interpretação final e como usar na prova:
  • Ao ver y''= função de t, sempre pense em integrar para encontrar y' e y.
  • Lembre-se que a primeira integração adiciona uma constante que é exatamente y'(0) se você avaliar em t=0. A segunda integração adiciona outra constante que é y(0) se avaliada em t=0.
  • Se o problema fornecer um valor numérico para y'(0), por exemplo y'(0)=a, basta substituir na fórmula final para obter y(t)=\tfrac{2}{3}t^3 + a t.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{2}{3}t^3 + y'(0)\,t

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