(1,5) Resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+3y'+2y=\sin\bigl(e^{x}\bigr).
Informações dadas relevantes:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O termo independente (fonte) é \sin\bigl(e^{x}\bigr).
A incógnita é a função y(x).
A meta é encontrar a solução geral y(x) (solução homogênea mais uma particular).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y''+3y'+2y=0.
Para isso usamos a equação característica. Assumimos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos
r^{2}+3r+2=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
logo \;r=-1 e \;r=-2. Portanto uma base de soluções da homogênea é
y_{1}(x)=e^{-x},\qquad y_{2}(x)=e^{-2x},
e a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes.
Passo 3
Precisamos agora de uma solução particular y_{p} para a equação completa. O lado direito \sin\bigl(e^{x}\bigr) não é do tipo tratado por coeficientes indeterminados (não é exponencial/tangente/polinômio simples), então usamos o método de variação de parâmetros, que é um método geral para obter uma solução particular. A ideia é procurar