(1,5) Resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+3y'+2y=\sin\bigl(e^{x}\bigr).
Informações dadas relevantes:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo independente (fonte) é \sin\bigl(e^{x}\bigr).
  • A incógnita é a função y(x).
    A meta é encontrar a solução geral y(x) (solução homogênea mais uma particular).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y''+3y'+2y=0.
Para isso usamos a equação característica. Assumimos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos
r^{2}+3r+2=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
logo \;r=-1 e \;r=-2. Portanto uma base de soluções da homogênea é
y_{1}(x)=e^{-x},\qquad y_{2}(x)=e^{-2x},
e a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes.

Passo 3

Precisamos agora de uma solução particular y_{p} para a equação completa. O lado direito \sin\bigl(e^{x}\bigr) não é do tipo tratado por coeficientes indeterminados (não é exponencial/tangente/polinômio simples), então usamos o método de variação de parâmetros, que é um método geral para obter uma solução particular. A ideia é procurar
y_{p}(x)=-y_{1}(x)\int \frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx + y_{2}(x)\int \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx,
onde g(x)=\sin\bigl(e^{x}\bigr) e W(x) é o Wronskiano de y_{1},y_{2}.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Aqui y_{1}=e^{-x} e y_{2}=e^{-2x}, então
y_{1}'=-e^{-x},\qquad y_{2}'=-2e^{-2x}.
Portanto
W(x)=e^{-x}(-2e^{-2x})-(-e^{-x})e^{-2x}=-2e^{-3x}+e^{-3x}=-e^{-3x}.

Passo 5

Agora montamos os integrandos da variação de parâmetros. Primeiro
\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)}=\frac{e^{-2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)}{-e^{-3x}} =-e^{x}\sin\bigl(e^{x}\bigr).
E em seguida
\frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}=\frac{e^{-x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)}{-e^{-3x}} =-e^{2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr).
Aplicando a fórmula de y_{p}:
y_{p}(x)=-e^{-x}\int\bigl(-e^{x}\sin(e^{x})\bigr)\,dx + e^{-2x}\int\bigl(-e^{2x}\sin(e^{x})\bigr)\,dx.
Simplificando os sinais:
y_{p}(x)=e^{-x}\int e^{x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx - e^{-2x}\int e^{2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculamos as integrais explícitas. Para a primeira integral fazemos a substituição \;u=e^{x}, então du=e^{x}dx. Assim
\int e^{x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx=\int \sin(u)\,du=-\cos(u)=-\cos\bigl(e^{x}\bigr).
Para a segunda integral usamos \;u=e^{x} também; então e^{2x}=u^{2} e dx=du/u, portanto
\int e^{2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx=\int u^{2}\sin(u)\frac{du}{u}=\int u\sin(u)\,du.
Integramos por partes \int u\sin(u)\,du. Tomando A=u e dB=\sin u\,du obtemos
\int u\sin(u)\,du=-u\cos(u)+\int\cos(u)\,du=-u\cos(u)+\sin(u).
Voltando a x (com u=e^{x}):
\int e^{2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx=-e^{x}\cos\bigl(e^{x}\bigr)+\sin\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 7

Substituindo as integrais em y_{p}:
y_{p}(x)=e^{-x}\bigl(-\cos(e^{x})\bigr)-e^{-2x}\bigl(-e^{x}\cos(e^{x})+\sin(e^{x})\bigr).
Desenvolvendo:
y_{p}(x)=-e^{-x}\cos(e^{x}) + e^{-2x}e^{x}\cos(e^{x}) - e^{-2x}\sin(e^{x}).
As duas primeiras parcelas cancelam porque e^{-2x}e^{x}=e^{-x}, logo sobra
y_{p}(x)=-e^{-2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 8

Assim a solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}-e^{-2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}-e^{-2x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)

Exercícios relacionados