(1,5) Una massa de 3 kg é presa a uma mola com rigidez
. A massa é deslocada
para a esquerda e recebe uma velocidade de
para a direita. A força de amortecimento é desprezível.
a) Ache a equação de movimento da massa
b) Determine a amplitude
c) O período e a frequência
d) Quanto tempo depois de solta a massa passará pela posição de equilibrio?
a) Ache a equação de movimento da massa
b) Determine a amplitude
c) O período e a frequência
d) Quanto tempo depois de solta a massa passará pela posição de equilibrio?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
Dados:
- Massa:
. - Constante da mola:
. - A massa é deslocada
para a esquerda (vou tomar para a direita o sentido positivo), logo a posição inicial é . - Velocidade inicial para a direita:
. - Amortecimento desprezível (sem termo de amortecimento).
Perguntas:
a) Ache a equação de movimento da massa (isto é, ).
b) Determine a amplitude do movimento.
c) Determine o período e a frequência do movimento.
d) Quanto tempo após ser solta a massa passará pela posição de equilíbrio pela primeira vez?
a) Ache a equação de movimento da massa (isto é,
b) Determine a amplitude do movimento.
c) Determine o período e a frequência do movimento.
d) Quanto tempo após ser solta a massa passará pela posição de equilíbrio pela primeira vez?
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento (lei de Hooke + segunda lei de Newton): a força da mola é
, logo
Dividindo por
obtemos a forma padrão do oscilador harmônico simples:
Aqui
é o quadrado da frequência angular
. Calculando:
Explicação curta (didática): a equação
descreve um movimento oscilatório simples quando não há atrito;
mede quão “rápido” oscila em rad/s.
Passo 3
Solução geral da equação
é combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Vamos usar
e
.
Avalia em
:
Derivando a solução:
Em
:
Portanto a equação de movimento (resposta da parte a) é
Passo 4
Agora vamos encontrar a amplitude. Uma forma prática: a amplitude
é a raiz da soma dos quadrados dos coeficientes de cosseno e seno,
Isto vem de reescrever
como
, com
.
Substituindo
e
:
Calculando numericamente:
Explicação curta: amplitude é o máximo valor absoluto do deslocamento; se preferir, você pode checar que
.
Passo 5
Período e frequência.
A relação entre frequência angular
, período
e frequência
é:
Com
:
Interpretação: a massa completa uma oscilação em aproximadamente
; faz cerca de
ciclos por segundo.
Passo 6
Tempo até passar pela posição de equilíbrio pela primeira vez.
Queremos o menor
tal que
. Usamos a expressão encontrada:
Isolando:
Logo
Procuramos o menor
, então tomamos
e a solução principal:
Calculando numericamente
, portanto
Verificação física (intuição): no instante inicial
(à esquerda) e
(para a direita), então ela se move em direção ao equilíbrio e o primeiro cruzamento deve ocorrer em tempo curto; o valor obtido
é coerente (menor que
, pois em
estaria no extremo oposto).
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)