(1,5) Una massa de 3 kg é presa a uma mola com rigidez k=75 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa é deslocada 1 / 4 \mathrm{~m} para a esquerda e recebe uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para a direita. A força de amortecimento é desprezível.
a) Ache a equação de movimento da massa
b) Determine a amplitude
c) O período e a frequência
d) Quanto tempo depois de solta a massa passará pela posição de equilibrio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
Dados:
  • Massa: m=3\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=75\\ \mathrm{N/m}.
  • A massa é deslocada 1/4\\ \mathrm{m} para a esquerda (vou tomar para a direita o sentido positivo), logo a posição inicial é \,x(0)=-\tfrac{1}{4}=-0,25\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial para a direita: \,x'(0)=+1\\ \mathrm{m/s}.
  • Amortecimento desprezível (sem termo de amortecimento).
Perguntas:
a) Ache a equação de movimento da massa (isto é, x(t)).
b) Determine a amplitude do movimento.
c) Determine o período e a frequência do movimento.
d) Quanto tempo após ser solta a massa passará pela posição de equilíbrio pela primeira vez?

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento (lei de Hooke + segunda lei de Newton): a força da mola é -kx, logo
m x''(t) + k x(t) = 0.
Dividindo por m obtemos a forma padrão do oscilador harmônico simples:
x''(t) + \left(\frac{k}{m}\right) x(t) = 0.
Aqui \frac{k}{m} é o quadrado da frequência angular \omega^2. Calculando:
\omega^2=\frac{k}{m}=\frac{75}{3}=25, \qquad \omega=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta (didática): a equação x''+\omega^2 x=0 descreve um movimento oscilatório simples quando não há atrito; \omega mede quão “rápido” oscila em rad/s.

Passo 3

Solução geral da equação \,x''+\omega^2 x=0 é combinação de cosseno e seno:
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Vamos usar \,x(0)=-0,25 e \,x'(0)=1.
Avalia em t=0:
x(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A \Rightarrow A=-0,25.
Derivando a solução:
x'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t).
Em t=0:
x'(0)=B\omega=1 \Rightarrow B=\frac{1}{\omega}=\frac{1}{5}=0,2.
Portanto a equação de movimento (resposta da parte a) é
x(t)=-0,25\cos(5t)+0,2\sin(5t)\quad\text{(metros)}.

Passo 4

Agora vamos encontrar a amplitude. Uma forma prática: a amplitude C é a raiz da soma dos quadrados dos coeficientes de cosseno e seno,
C=\sqrt{A^2+B^2}.
Isto vem de reescrever A\cos\omega t + B\sin\omega t como C\cos(\omega t-\varphi), com C=\sqrt{A^2+B^2}.
Substituindo A=-0,25 e B=0,2:
C=\sqrt{(-0,25)^2+(0,2)^2}=\sqrt{0,0625+0,04}=\sqrt{0,1025}.
Calculando numericamente:
C\approx 0,320156\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: amplitude é o máximo valor absoluto do deslocamento; se preferir, você pode checar que C\approx0,320\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Período e frequência.
A relação entre frequência angular \omega, período T e frequência f é:
T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
Com \omega=5\\ \mathrm{rad/s}:
T=\frac{2\pi}{5} \approx 1,256637\\ \mathrm{s}, \qquad f=\frac{5}{2\pi}\approx 0,795775\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: a massa completa uma oscilação em aproximadamente 1{,}257\\ \mathrm{s}; faz cerca de 0{,}796 ciclos por segundo.

Passo 6

Tempo até passar pela posição de equilíbrio pela primeira vez.
Queremos o menor t>0 tal que x(t)=0. Usamos a expressão encontrada:
-0,25\cos(5t)+0,2\sin(5t)=0.
Isolando:
0,2\sin(5t)=0,25\cos(5t)
\tan(5t)=\frac{0,25}{0,2}=1,25.
Logo
5t=\arctan(1,25)+n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Procuramos o menor t>0, então tomamos n=0 e a solução principal:
t=\frac{1}{5}\arctan(1,25).
Calculando numericamente \arctan(1,25)\approx 0,896055\\ \mathrm{rad}, portanto
t\approx\frac{0,896055}{5}\approx 0,179211\\ \mathrm{s}.
Verificação física (intuição): no instante inicial x(0)=-0,25 (à esquerda) e x'(0)=+1 (para a direita), então ela se move em direção ao equilíbrio e o primeiro cruzamento deve ocorrer em tempo curto; o valor obtido \approx0,179\\ \mathrm{s} é coerente (menor que T/4, pois em T/4 estaria no extremo oposto).

Resposta

a) x(t)=-0,25\cos(5t)+0,2\sin(5t)\\ \mathrm{m}.
b) C=\sqrt{0,1025}\approx0,320156\\ \mathrm{m}.
c) T=\dfrac{2\pi}{5}\approx1,256637\\ \mathrm{s},\quad f=\dfrac{5}{2\pi}\approx0,795775\\ \mathrm{Hz}.
d) t=\dfrac{1}{5}\arctan(1,25)\approx0,179211\\ \mathrm{s}.

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