Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
\frac{d y}{d t} t+5 y=0, \quad y(1)=3

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
  • Equação diferencial: t\frac{dy}{dt}+5y=0.
  • Condição inicial: y(1)=3.
O que se pede:
  • Encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI).
  • Dar o maior intervalo sobre o qual essa solução está definida.

Passo 2

Interpretar a equação e colocá‑la numa forma conveniente. Vou reescrever a equação isolando \frac{dy}{dt}. Como há um fator t multiplicando \frac{dy}{dt}, primeiro divido ambos os lados por t, lembrando que essa operação exige t\neq0. Isso dá:
\frac{dy}{dt} + \frac{5}{t}y = 0.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, mas também é separável — a forma mais direta aqui é separar variáveis. Antes de separar, observe que a divisão por t exige cuidado com t=0; portanto as soluções buscadas devem viver em intervalos que não contenham 0.

Passo 3

Separar variáveis. A equação reescrita pode ser colocada como
\frac{dy}{dt} = -\frac{5}{t}y.
Agora separo y e t:
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{5}{t}\,dt.
Explicação didática: separar variáveis significa recolher todos os termos em y do lado esquerdo (junto de dy) e todos os termos em t do lado direito (junto de dt), de modo que cada lado dependa de uma só variável. Isso permite integrar ambos os lados diretamente.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Integro a esquerda em relação a y e a direita em relação a t:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{5}{t}\,dt.
As integrais são formas básicas:
\ln|y| = -5\ln|t| + C,
onde C é a constante de integração. Explicação: \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| e \int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t|.

Passo 5

Resolver para y. Uso propriedades dos logaritmos: -5\ln|t| = \ln|t|^{-5}. Assim
\ln|y| = \ln|t|^{-5} + C.
Exponentiando ambos os lados:
|y| = e^{C}\,|t|^{-5}.
Defino K=e^{C} (constante positiva). Então y pode ser escrito como
y = K t^{-5},
onde aqui já incorporo possível sinal de K (isto é, K pode ser qualquer número real não nulo). Em forma equivalente,
y(t)=\dfrac{K}{t^{5}}.

Passo 6

Determinar a constante usando a condição inicial y(1)=3. Substituo t=1 e y(1)=3 na expressão:
3 = \dfrac{K}{1^{5}}=\!K.
Logo K=3. Portanto a solução geral ajustada à condição inicial é
y(t)=3t^{-5}=\dfrac{3}{t^{5}}.

Passo 7

Determinar o maior intervalo de definição. Relembrando: na divisão por t e no logaritmo usamos que t\neq0. A solução encontrada \dfrac{3}{t^{5}} está bem definida para todo t\neq0. Porém o PVI especifica y(1)=3, isso fixa o ponto inicial t=1, que é positivo. O maior intervalo aberto que contém t=1 e no qual a equação (na forma dividida) é válida é (0,\infty). Observação sobre unicidade: a função \frac{5}{t} é contínua em (0,\infty), então o teorema de existência e unicidade garante que a solução encontrada é única naquele intervalo.

Resposta

y(t)=\dfrac{3}{t^{5}}
Maior intervalo de definição: (0,\infty)

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