Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede:
- Encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI).
- Dar o maior intervalo sobre o qual essa solução está definida.
Passo 2
Interpretar a equação e colocá‑la numa forma conveniente. Vou reescrever a equação isolando
. Como há um fator
multiplicando
, primeiro divido ambos os lados por
, lembrando que essa operação exige
. Isso dá:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, mas também é separável — a forma mais direta aqui é separar variáveis. Antes de separar, observe que a divisão por
exige cuidado com
; portanto as soluções buscadas devem viver em intervalos que não contenham
.
Passo 3
Separar variáveis. A equação reescrita pode ser colocada como
Agora separo
e
:
Explicação didática: separar variáveis significa recolher todos os termos em
do lado esquerdo (junto de
) e todos os termos em
do lado direito (junto de
), de modo que cada lado dependa de uma só variável. Isso permite integrar ambos os lados diretamente.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Integro a esquerda em relação a
e a direita em relação a
:
As integrais são formas básicas:
onde
é a constante de integração. Explicação:
e
.
Passo 5
Resolver para
. Uso propriedades dos logaritmos:
. Assim
Exponentiando ambos os lados:
Defino
(constante positiva). Então
pode ser escrito como
onde aqui já incorporo possível sinal de
(isto é,
pode ser qualquer número real não nulo). Em forma equivalente,
Passo 6
Determinar a constante usando a condição inicial
. Substituo
e
na expressão:
Logo
. Portanto a solução geral ajustada à condição inicial é
Passo 7
Determinar o maior intervalo de definição. Relembrando: na divisão por
e no logaritmo usamos que
. A solução encontrada
está bem definida para todo
. Porém o PVI especifica
, isso fixa o ponto inicial
, que é positivo. O maior intervalo aberto que contém
e no qual a equação (na forma dividida) é válida é
. Observação sobre unicidade: a função
é contínua em
, então o teorema de existência e unicidade garante que a solução encontrada é única naquele intervalo.
Resposta
Maior intervalo de definição: