A tabela abaixo representa o lucro total, L(p), em milhões de reais, obtido quando um produto é vendido no mercado pelo preço p :
Preço p 1 real 2 reais 4 reais
Lucro L(p) 10 milhões 12 milhões 10 milhões
Encontre um polinômio de grau 2 que interpole os dados da tabela e estime com essa modelagem:
(a) o preço de venda que maximiza o lucro
(b) o lucro máximo alcançado com este preço

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números da tabela fornecida).
  • Dados: preço p e lucro total L(p) (em milhões de reais)
    • Para p=1 real: L(1)=10 milhões
    • Para p=2 reais: L(2)=12 milhões
    • Para p=4 reais: L(4)=10 milhões
  • O que o enunciado pede:
    (a) encontrar o preço de venda que maximiza o lucro, usando um polinômio de grau 2 que interpole os dados;
    (b) estimar o lucro máximo alcançado com esse preço.

Passo 2

Escolher um polinômio de grau 2 que interpole os três pontos significa assumir uma função da forma
L(p)=a p^{2}+b p + c,
onde a,b,c são constantes (em milhões de reais quando aplicado ao lucro). Essa forma tem três incógnitas, logo podemos determinar a,b,c impondo as três condições dadas pelos pontos da tabela:
\begin{cases} L(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=10,\\[4pt] L(2)=a\cdot2^{2}+b\cdot2+c=12,\\[4pt] L(4)=a\cdot4^{2}+b\cdot4+c=10. \end{cases}
Vou traduzir essas equações explicitamente:
\begin{cases} a+b+c=10,\\[4pt] 4a+2b+c=12,\\[4pt] 16a+4b+c=10. \end{cases}]

Passo 3

Agora resolvo o sistema para a,b,c passo a passo (eliminação):
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4a+2b+c)-(a+b+c)=3a+b=2. \tag{1}
Subtraindo a segunda da terceira:
(16a+4b+c)-(4a+2b+c)=12a+2b=-2. \tag{2}
Dividindo (2) por 2 para simplificar:
6a+b=-1. \tag{3}
Agora subtraio (1) de (3):
(6a+b)-(3a+b)=3a=-3 \quad\Rightarrow\quad a=-1.
Com a=-1 uso (1) para achar b:
3(-1)+b=2 \quad\Rightarrow\quad -3+b=2 \quad\Rightarrow\quad b=5.
Finalmente uso a primeira equação a+b+c=10 para achar c:
-1+5+c=10 \quad\Rightarrow\quad 4+c=10 \quad\Rightarrow\quad c=6.

Passo 4

Portanto o polinômio interpolador de grau 2 encontrado é
L(p) = -p^{2} + 5p + 6,
onde L(p) está em milhões de reais e p em reais. (Resumo: peguei os valores da tabela para montar e resolver o sistema.)

Passo 5

Agora vamos encontrar o preço que maximiza o lucro. Para uma função quadrática L(p)=a p^{2}+b p + c com a\neq0, o extremo (máximo se a<0, mínimo se a>0) ocorre no vértice da parábola, cujo p é dado pela fórmula
p^{*} = -\dfrac{b}{2a}.
Explicando essa fórmula de forma simples: ela vem de anular a derivada L'(p)=2a p + b (ponto onde a inclinação é zero), ou equivalentemente de completar o quadrado da expressão quadrática. Ambas são maneiras padrão de achar o vértice de uma parábola.
No nosso caso a=-1 e b=5, então
p^{*} = -\dfrac{5}{2\cdot(-1)} = -\dfrac{5}{-2} = \dfrac{5}{2} = 2,5.

Passo 6

Calculo agora o lucro máximo substituindo p^{*}=2,5 em L(p). Faça as contas devagar:
p^{*2} = (2,5)^{2} = 6,25,
L(2,5) = - (2,5)^{2} + 5\cdot(2,5) + 6 = -6,25 + 12,5 + 6.
Somando:
-6,25 + 12,5 = 6,25,\qquad 6,25 + 6 = 12,25.
Logo o lucro estimado é L(2,5)=12,25 milhões de reais.

Passo 7

Verificação rápida de que é máximo: como a=-1<0, a parábola é côncava para baixo, portanto o vértice encontrado é um máximo. Então p^{*}=2,5 realmente maximiza L(p) no modelo quadrático.

Resposta

(a) p=2,5 reais
(b) L_{\max}=12,25 milhões de reais

Exercícios relacionados