A tabela abaixo representa o lucro total, L(p), em milhões de reais, obtido quando um produto é vendido no mercado pelo preço p :
Preço p
1 real
2 reais
4 reais
Lucro L(p)
10 milhões
12 milhões
10 milhões
Encontre um polinômio de grau 2 que interpole os dados da tabela e estime com essa modelagem:
(a) o preço de venda que maximiza o lucro
(b) o lucro máximo alcançado com este preço
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números da tabela fornecida).
Dados: preço p e lucro total L(p) (em milhões de reais)
Para p=1 real: L(1)=10 milhões
Para p=2 reais: L(2)=12 milhões
Para p=4 reais: L(4)=10 milhões
O que o enunciado pede:
(a) encontrar o preço de venda que maximiza o lucro, usando um polinômio de grau 2 que interpole os dados;
(b) estimar o lucro máximo alcançado com esse preço.
Passo 2
Escolher um polinômio de grau 2 que interpole os três pontos significa assumir uma função da forma
L(p)=a p^{2}+b p + c,
onde a,b,c são constantes (em milhões de reais quando aplicado ao lucro). Essa forma tem três incógnitas, logo podemos determinar a,b,c impondo as três condições dadas pelos pontos da tabela:
Portanto o polinômio interpolador de grau 2 encontrado é
L(p) = -p^{2} + 5p + 6,
onde L(p) está em milhões de reais e p em reais. (Resumo: peguei os valores da tabela para montar e resolver o sistema.)
Passo 5
Agora vamos encontrar o preço que maximiza o lucro. Para uma função quadrática L(p)=a p^{2}+b p + c com a\neq0, o extremo (máximo se a<0, mínimo se a>0) ocorre no vértice da parábola, cujo p é dado pela fórmula
p^{*} = -\dfrac{b}{2a}.
Explicando essa fórmula de forma simples: ela vem de anular a derivada L'(p)=2a p + b (ponto onde a inclinação é zero), ou equivalentemente de completar o quadrado da expressão quadrática. Ambas são maneiras padrão de achar o vértice de uma parábola.
Logo o lucro estimado é L(2,5)=12,25 milhões de reais.
Passo 7
Verificação rápida de que é máximo: como a=-1<0, a parábola é côncava para baixo, portanto o vértice encontrado é um máximo. Então p^{*}=2,5 realmente maximiza L(p) no modelo quadrático.