Mostre que o conjunto \mathcal{F}(\mathbb{R}) das funções reais, com soma usual e produto composição,
(f \circ g)(x)=f(g(x)),
não é um anel.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \mathcal{F}(\mathbb{R}) das funções reais, com a soma usual e com o produto dado pela composição
(f\circ g)(x)=f(g(x)),
não é um anel.
As informações fornecidas que vamos usar são:
  • o conjunto é \mathcal{F}(\mathbb{R}), todas as funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};
  • a soma é a soma usual ponto a ponto: (f+g)(x)=f(x)+g(x);
  • o “produto” é a composição: (f\circ g)(x)=f(g(x)).
O que precisa ser mostrado: uma das propriedades exigidas para um anel não vale para essa estrutura (ou seja, provar que alguma axioma de anel falha aqui).

Passo 2

Lembrete rápido (definição usada): uma estrutura (R,+,\cdot) é anel se satisfaz, entre outras, as seguintes propriedades essenciais:
  1. (R,+) é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro 0, inversos, comutatividade).
  2. O produto \cdot é associativo e fechado em R.
  3. O produto distribui em relação à soma dos dois lados: para todos a,b,c\in R,
a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c
e
(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.
(Algumas variações exigem também elemento multiplicativo neutro, mas isso não é necessário para decidir se é anel.)
Nos passos seguintes vou verificar as propriedades para \mathcal{F}(\mathbb{R}) com soma usual e composição como produto, e procurar uma falha.

Passo 3

Verificando (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+) é grupo abeliano:
  • Fechamento: se f e g são funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}, então f+g definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) é também uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Logo fechado.
  • Associatividade: para todas f,g,h,
((f+g)+h)(x) = (f+g)(x)+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = (f+(g+h))(x),
portanto (f+g)+h = f+(g+h).
  • Neutro aditivo: a função zero 0 dada por 0(x)=0 satisfaz (f+0)(x)=f(x), logo é elemento neutro.
  • Inverso: para f a função -f definida por (-f)(x)=-f(x) é o inverso, pois (f+(-f))(x)=0.
  • Comutatividade: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).
Portanto (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+) é de fato um grupo abeliano. Até aqui tudo bem para ser anel.

Passo 4

Verificando a composição como “produto”:
  • Fechamento: se f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} então f\circ g também é função \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Logo fechado.
  • Associatividade: a composição é associativa, isto é, para f,g,h,
((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g\circ h)(x)) = (f\circ (g\circ h))(x),
portanto (f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h).
  • Existe identidade para a composição: a função identidade \mathrm{id}(x)=x satisfaz \mathrm{id}\circ f = f = f\circ\mathrm{id}.
Até aqui, soma e “produto” satisfazem muitos requisitos básicos (grupo aditivo, fechamento e associatividade do produto, existência de identidade). O ponto crucial é a distributividade.

Passo 5

Mostrar que a distributividade falha (contraexemplo explícito). Vamos testar a lei da esquerda
f\circ (g+h) \stackrel{?}{=} f\circ g + f\circ h
para todas as funções; basta um contraexemplo simples para concluir que não vale em geral.
Escolha as funções
f(x)=x^{2},\qquad g(x)=x,\qquad h(x)=x.
Calcule cada lado ponto a ponto.
Primeiro, g+h é a função (g+h)(x)=g(x)+h(x)=x+x=2x. Então
(f\circ (g+h))(x) = f((g+h)(x)) = f(2x) = (2x)^{2} = 4x^{2}.
Agora calcule f\circ g + f\circ h:
(f\circ g)(x) = f(g(x)) = f(x) = x^{2},
(f\circ h)(x) = f(h(x)) = f(x) = x^{2},
logo
(f\circ g + f\circ h)(x) = x^{2} + x^{2} = 2x^{2}.
Comparando os dois lados temos, para todo x,
(f\circ (g+h))(x)=4x^{2}\quad\text{e}\quad (f\circ g + f\circ h)(x)=2x^{2}.
Como 4x^{2}\neq 2x^{2} para, por exemplo, x=1 (ou para muitos valores de x), as duas funções não são iguais. Portanto a distributividade à esquerda falha: existe f,g,h com
f\circ (g+h)\neq f\circ g + f\circ h.
(Igualmente pode-se encontrar exemplos que violam a distributividade à direita, mas já não é necessário — uma violação basta para concluir que a estrutura não é anel.)

Passo 6

Conclusão: como a propriedade distributiva não é satisfeita em geral, a estrutura (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+,\circ) não é um anel. Em palavras mais leves: a composição não “espalha” sobre a soma como a multiplicação usual faria, então falta um axioma essencial de anel.
Força aí — o contraexemplo é muito simples e é exatamente o que se usa na prova: f(x)=x^{2},\,g(x)=h(x)=x dá a quebra da distributividade.

Resposta

Não é um anel.

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