Mostre que o conjunto
das funções reais, com soma usual e produto composição,
não é um anel.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
das funções reais, com a soma usual e com o produto dado pela composição
não é um anel.
As informações fornecidas que vamos usar são:
As informações fornecidas que vamos usar são:
- o conjunto é
, todas as funções ; - a soma é a soma usual ponto a ponto:
; - o “produto” é a composição:
.
O que precisa ser mostrado: uma das propriedades exigidas para um anel não vale para essa estrutura (ou seja, provar que alguma axioma de anel falha aqui).
Passo 2
Lembrete rápido (definição usada): uma estrutura
é anel se satisfaz, entre outras, as seguintes propriedades essenciais:
-
é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro , inversos, comutatividade). - O produto
é associativo e fechado em . - O produto distribui em relação à soma dos dois lados: para todos
,
e
(Algumas variações exigem também elemento multiplicativo neutro, mas isso não é necessário para decidir se é anel.)
Nos passos seguintes vou verificar as propriedades para
com soma usual e composição como produto, e procurar uma falha.
Passo 3
Verificando
é grupo abeliano:
- Fechamento: se
e são funções , então definida por é também uma função . Logo fechado. - Associatividade: para todas
,
portanto
.
- Neutro aditivo: a função zero
dada por satisfaz , logo é elemento neutro. - Inverso: para
a função definida por é o inverso, pois . - Comutatividade:
.
Portanto
é de fato um grupo abeliano. Até aqui tudo bem para ser anel.
Passo 4
Verificando a composição como “produto”:
- Fechamento: se
então também é função . Logo fechado. - Associatividade: a composição é associativa, isto é, para
,
portanto
.
- Existe identidade para a composição: a função identidade
satisfaz .
Até aqui, soma e “produto” satisfazem muitos requisitos básicos (grupo aditivo, fechamento e associatividade do produto, existência de identidade). O ponto crucial é a distributividade.
Passo 5
Mostrar que a distributividade falha (contraexemplo explícito). Vamos testar a lei da esquerda
para todas as funções; basta um contraexemplo simples para concluir que não vale em geral.
Escolha as funções
Calcule cada lado ponto a ponto.
Primeiro,
é a função
. Então
Agora calcule
:
logo
Comparando os dois lados temos, para todo
,
Como
para, por exemplo,
(ou para muitos valores de
), as duas funções não são iguais. Portanto a distributividade à esquerda falha: existe
com
(Igualmente pode-se encontrar exemplos que violam a distributividade à direita, mas já não é necessário — uma violação basta para concluir que a estrutura não é anel.)
Passo 6
Conclusão: como a propriedade distributiva não é satisfeita em geral, a estrutura
não é um anel. Em palavras mais leves: a composição não “espalha” sobre a soma como a multiplicação usual faria, então falta um axioma essencial de anel.
Força aí — o contraexemplo é muito simples e é exatamente o que se usa na prova:
dá a quebra da distributividade.
Resposta
Não é um anel.