Resolva as seguintes equações diferenciais:
Condições iniciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem e condições iniciais. Precisamos encontrar a função
que satisfaz:
com as condições iniciais
Informações relevantes: o termo do lado direito é a constante
; a equação é linear com coeficientes constantes. O que se pede é a solução particular que satisfaz as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos
Resolvendo a quadrática: o discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Quando a equação característica tem raízes
(aqui
,
), a solução geral da homogênea é
Aplicando aqui:
Breve explicação do porquê:
; combinando as partes real e imaginária obtemos as funções reais acima.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O termo forçante é a constante
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular constante:
onde
é uma constante desconhecida. Justificativa curta: quando o lado direito é polinomial (aqui constante), normalmente tentamos um polinômio de mesmo grau, desde que esse polinômio não seja solução da homogênea. Como a homogênea não tem solução constante (testando
na característica dá
), a escolha é válida.
Substituindo em
: as derivadas de uma constante são zero, então fica
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando
em
:
Da condição
segue
Passo 6
Agora usamos
. Precisamos calcular
. Começamos diferenciando a parte homogênea usando regra do produto e derivadas de seno/cosseno.
Seja
. Então
Agrupando termos e fatorando
:
A derivada da constante
é zero, então
. Avaliando em
(onde
) obtemos
A condição
dá
Substituindo
:
Logo
Passo 7
Substituímos
e
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Podemos, se quisermos, fatorar
na parte oscilatória: