Resolva as seguintes equações diferenciais:
\displaystyle x^{\prime \prime}(t)+2 x^{\prime}(t)+5 x(t)=3
Condições iniciais:
\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x(0)=0 \\\ x^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem e condições iniciais. Precisamos encontrar a função x(t) que satisfaz:
x''(t)+2x'(t)+5x(t)=3
com as condições iniciais
x(0)=0,\qquad x'(0)=0.
Informações relevantes: o termo do lado direito é a constante 3; a equação é linear com coeficientes constantes. O que se pede é a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
x''+2x'+5x=0.
Para isso usamos a equação característica. Substituímos x(t)=e^{rt} e obtemos
r^2+2r+5=0.
Resolvendo a quadrática: o discriminante é
\Delta = 2^2-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i.
Quando a equação característica tem raízes \alpha\pm \beta i (aqui \alpha=-1, \beta=2), a solução geral da homogênea é
x_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
Aplicando aqui:
x_h(t)=e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big).
Breve explicação do porquê: e^{(\alpha\pm i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t \pm i\sin\beta t); combinando as partes real e imaginária obtemos as funções reais acima.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_p(t) da equação completa. O termo forçante é a constante 3. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular constante:
x_p(t)=A,
onde A é uma constante desconhecida. Justificativa curta: quando o lado direito é polinomial (aqui constante), normalmente tentamos um polinômio de mesmo grau, desde que esse polinômio não seja solução da homogênea. Como a homogênea não tem solução constante (testando r=0 na característica dá 5\neq0), a escolha é válida.
Substituindo em x''+2x'+5x=3: as derivadas de uma constante são zero, então fica
5A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{5}.
Portanto
x_p(t)=\frac{3}{5}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big)+\frac{3}{5}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro x(0)=0. Avaliando x(t) em t=0:
x(0)=e^{0}\big(C_1\cos0 + C_2\sin0\big)+\frac{3}{5} = C_1 + \frac{3}{5}.
Da condição x(0)=0 segue
C_1 + \frac{3}{5} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -\frac{3}{5}.

Passo 6

Agora usamos x'(0)=0. Precisamos calcular x'(t). Começamos diferenciando a parte homogênea usando regra do produto e derivadas de seno/cosseno.
Seja y(t)=e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big). Então
y'(t) = -e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big) + e^{-t}\big(-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)\big).
Agrupando termos e fatorando e^{-t}:
y'(t)=e^{-t}\Big((-C_1+2C_2)\cos(2t)+(-C_2-2C_1)\sin(2t)\Big).
A derivada da constante 3/5 é zero, então x'(t)=y'(t). Avaliando em t=0 (onde \cos0=1,\sin0=0,e^{0}=1) obtemos
x'(0)=(-C_1+2C_2).
A condição x'(0)=0
-C_1+2C_2=0.
Substituindo C_1=-\tfrac{3}{5}:
-(-\tfrac{3}{5}) + 2C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{5} + 2C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2C_2 = -\frac{3}{5}.
Logo
C_2 = -\frac{3}{10}.

Passo 7

Substituímos C_1 e C_2 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
x(t)=e^{-t}\Big(-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{10}\sin(2t)\Big)+\frac{3}{5}.
Podemos, se quisermos, fatorar -\tfrac{3}{10} na parte oscilatória:
x(t)=-\frac{3}{10}e^{-t}\big(2\cos(2t)+\sin(2t)\big)+\frac{3}{5}.

Resposta

x(t)=e^{-t}\Big(-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{10}\sin(2t)\Big)+\frac{3}{5}.

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