Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
\frac{d y}{d x}=3 y-2 x+6 x y-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=3y-2x+6xy-1
O conteúdo principal é equação linear em y. Embora a instrução mencione “separação de variáveis”, esse tipo de equação não é separável; vamos usar em vez disso o método do fator integrante, que é padrão para equações do tipo
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).

Passo 2

Colocamos a equação na forma linear padrão. Agrupando termos em y e isolando, temos
\frac{dy}{dx}-(3+6x)\,y=-(2x+1).

Passo 3

Identificamos
P(x) = -(3+6x),\quad Q(x)=-(2x+1).
O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int -(3+6x)\,dx\Bigr)=\exp\bigl(-3x-3x^2\bigr).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
\exp(-3x-3x^2)\,\frac{dy}{dx}-(3+6x)\exp(-3x-3x^2)\,y=-(2x+1)\exp(-3x-3x^2).
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,\mu(x), pois
\frac{d}{dx}\bigl[y\,e^{-3x-3x^2}\bigr] =e^{-3x-3x^2}\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x-3x^2}\bigr) =e^{-3x-3x^2}\frac{dy}{dx}-(3+6x)y\,e^{-3x-3x^2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl[y\,e^{-3x-3x^2}\bigr]\,dx =\int -(2x+1)e^{-3x-3x^2}\,dx.
No lado direito, note que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x-3x^2}\bigr)=-(6x+3)e^{-3x-3x^2} =-3(2x+1)e^{-3x-3x^2},
logo
\int -(2x+1)e^{-3x-3x^2}\,dx =\frac{1}{3}\int d\bigl(e^{-3x-3x^2}\bigr) =\frac{1}{3}e^{-3x-3x^2}+C.
Então
y\,e^{-3x-3x^2}=\tfrac{1}{3}\,e^{-3x-3x^2}+C.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por e^{3x+3x^2}:
y(x) =\frac{1}{3}+C\,e^{3x+3x^2}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}+C\,e^{3x^2+3x},\quad C\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados