Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial, onde y=y(x) e r=r(theta) :
ly^prime=(1+y)(1+x), y(0)=1

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial onde y' = (1 + y)(1 + x) e a condição inicial é y(0) = 1. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e aprender a resolver usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação:
y' = (1 + y)(1 + x) = 1 cdot 1 + 1 cdot x + y cdot 1 + y cdot x = 1 + x + y + xy
Mas isso complica, então vamos tentar reescrever de uma forma que facilite a separação das variáveis.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação original:
y' = (1 + y)(1 + x)
Dividindo ambos os lados por (1 + y):
y'1 + y = 1 + x
Agora, temos uma forma que pode ser integrada de ambos os lados.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral y'1 + y , dx = integral (1 + x) , dx
No lado esquerdo, fazemos uma substituição: seja u = 1 + y, então du = y' dx.

Passo 5

Fazendo a substituição:
integral duu = integral (1 + x) , dx
Isso simplifica para:
ln|u| = x + x^22 + C
Voltando para y:
ln(1 + y) = x + x^22 + C

Passo 6

Agora, resolvemos para y:
1 + y = e^x + x^22 + C
Podemos escrever e^C como uma constante K:
1 + y = K e^x + x^22
Então:
y = K e^x + x^22 - 1

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar K:
1 = K e^0 + 0 - 1 1 = K cdot 1 - 1 K = 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = 2 e^x + x^22 - 1

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