Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial, onde
e
:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial onde
e a condição inicial é
. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e aprender a resolver usando o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a equação:
Mas isso complica, então vamos tentar reescrever de uma forma que facilite a separação das variáveis.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos uma forma que pode ser integrada de ambos os lados.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo, fazemos uma substituição: seja
, então
.
Passo 5
Fazendo a substituição:
Isso simplifica para:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Podemos escrever
como uma constante
:
Então:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: