Use o método de separação para resolver as seguintes equações diferenciais, onde y=y(x).
y^prime= & 1+y & 1+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação $ y’ = \frac{1 + y}{1 + x} $, onde $ y = y(x) $. Vamos precisar entender como separar as variáveis $ y $ e $ x $ para integrar cada lado separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Então, a equação fica:
y'

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, colocamos todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro:
y

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{1}{1 + y} , dy $ e a de $ \frac{1}{1 + x} , dx $ são iguais:
11 + y , dy

Passo 5

Resolvendo as integrais:
ln|1 + y| = ln|1 + x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar $ y $, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
y
Onde $ K = e^{C} $ é uma nova constante.

Passo 7

Finalmente, isolando $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = K(1 + x) - 1
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.

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