Use o método de separação para resolver as seguintes equações diferenciais, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação $ y’ = \frac{1 + y}{1 + x} $, onde $ y = y(x) $. Vamos precisar entender como separar as variáveis $ y $ e $ x $ para integrar cada lado separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, colocamos todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{1}{1 + y} , dy $ e a de $ \frac{1}{1 + x} , dx $ são iguais:
Passo 5
Resolvendo as integrais:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar $ y $, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde $ K = e^{C} $ é uma nova constante.
Passo 7
Finalmente, isolando $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.