Use o método de separação para resolver as seguintes equações diferenciais, onde y=y(x).
y^prime=(1+y)(1+x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y’ = (1 + y)(1 + x) $. Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar os termos envolvendo $ y $ dos que envolvem $ x $ e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Lembrando que $ y’ $ significa $ \frac{dy}{dx} $, temos:
y'
Para separar $ y $ e $ x $, dividimos ambos os lados por $ (1 + y) $:
dydx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a $ y $:
y
Em seguida, integramos o lado direito em relação a $ x $:
integral 11 + y , dy = ln|1 + y| + C1

Passo 4

Agora, juntamos as duas integrações. Como $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração, podemos combiná-las em uma única constante $ C $:
C1

Passo 5

Para resolvermos para $ y $, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
y
Podemos reescrever $ e^{C} $ como uma nova constante $ K $ (já que $ e^{C} $ ainda é uma constante):
1 + y = e^x + x^22 + C

Passo 6

Finalmente, isolamos $ y $ subtraindo 1 de ambos os lados:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C , e^,x + x^22 - 1
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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