Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício nos pede para verificar se a solução do seguinte problema de valor inicial é única:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para verificar a unicidade da solução, vamos precisar usar o teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, que nos dá condições para que uma solução única exista.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que esse teorema diz. O Teorema de Picard-Lindelöf afirma que se a função que está na equação diferencial, nesse caso $ f(x, y) = y^{4} - x^{4} $, for contínua em uma região ao redor do ponto inicial e Lipschitz contínua em $ y $, então existe uma solução única para o problema de valor inicial.
Então, nosso objetivo aqui é verificar se $ f(x, y) $ satisfaz essas condições.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade de $ f(x, y) $. A função $ f(x, y) = y^{4} - x^{4} $ é um polinômio em $ x $ e $ y $, e sabemos que polinômios são contínuos em todo lugar. Portanto, $ f(x, y) $ é contínua para todos os valores de $ x $ e $ y $.
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a $ y $. Para isso, calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Essa derivada é contínua em todo $ y $, o que implica que $ f(x, y) $ é Lipschitz contínua em $ y $ em qualquer região do plano $ (x, y) $.
Passo 5
Como $ f(x, y) $ é contínua e Lipschitz contínua em $ y $ em torno do ponto inicial $ (0, 7) $, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma única solução para o problema de valor inicial dado.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é única.