Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = \frac{1 + y^2}{1 + x^2},
com condição inicial y(0)=1.
Esse é um caso clássico de equação diferencial separável: vamos separar y e x em lados diferentes e depois integrar.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo
\frac{dy}{1 + y^2} = \frac{dx}{1 + x^2}
e integre ambos os lados:
\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int \frac{dx}{1 + x^2}
Isso resulta em
\arctan(y) = \arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Use a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em \arctan(y)=\arctan(x)+C, vem
\arctan(1) = \arctan(0) + C \quad\implies\quad \frac{\pi}{4} = 0 + C \quad\implies\quad C = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Volte à expressão geral e isole y:
\arctan(y) = \arctan(x) + \frac{\pi}{4}.
Aplicando a tangente em ambos os lados e usando a fórmula \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\,\tan B}, obtemos
y = \tan\!\Bigl(\arctan(x) + \tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{x + 1}{1 - x}.

Resposta

y(x) = \frac{1 + x}{1 - x}.

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