Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
pelo método de separação de variáveis. Vamos usar que em equações separáveis podemos escrever todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, e depois integrar cada lado.
Passo 2
Reescrevendo o lado direito como produto de funções de
e de
, temos
Agora separamos as variáveis colocando
multiplicando
e
no outro lado:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Calculamos cada integral.
A integral à esquerda é
A integral à esquerda é
A integral à direita pode ser feita por partes (ou conhecida):
Portanto, após a integração,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolamos
e, em seguida,
. Multiplicando por
,
onde
é outra constante arbitrária. Tomando logaritmo natural:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
(ou
) é uma constante arbitrária.