Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
\frac{\mathrm{d} y}{d x}=x e^{x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x\,e^{\,x + 2y}
pelo método de separação de variáveis. Vamos usar que em equações separáveis podemos escrever todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, e depois integrar cada lado.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito como produto de funções de x e de y, temos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x\,e^{x}\,e^{2y}.
Agora separamos as variáveis colocando e^{-2y} multiplicando \mathrm{d}y e \mathrm{d}x no outro lado:
e^{-2y}\,\mathrm{d}y = x\,e^{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{-2y}\,\mathrm{d}y = \int x\,e^{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos cada integral.
A integral à esquerda é
\int e^{-2y}\,\mathrm{d}y = -\tfrac12\,e^{-2y}.
A integral à direita pode ser feita por partes (ou conhecida):
\int x\,e^{x}\,\mathrm{d}x = x\,e^{x} - \int e^{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}(x - 1).
Portanto, após a integração,
- \tfrac12\,e^{-2y} = e^{x}(x - 1) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos e^{-2y} e, em seguida, y. Multiplicando por -2,
e^{-2y} = -2\,e^{x}(x - 1) + C_1,
onde C_1 = -2C é outra constante arbitrária. Tomando logaritmo natural:
-2y = \ln\bigl(C_1 - 2\,e^{x}(x - 1)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac12\,\ln\!\bigl(C_1 - 2\,e^{x}(x - 1)\bigr).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = -\frac{1}{2}\,\ln\!\bigl(C - 2\,e^{x}(x - 1)\bigr),
onde C (ou C_1) é uma constante arbitrária.

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