Encontre o limite ou demonstre que não existe
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{9 x^{6}-x}}{x^{3}+1}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^6 - x}}{x^3 + 1}.
O conteúdo aqui é limites no infinito envolvendo raiz de termo dominante. Vamos usar fatoração do maior grau para simplificar.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos 9x^6:
\sqrt{9x^6 - x} = \sqrt{9x^6\Bigl(1 - \frac{1}{9x^5}\Bigr)} = 3\,|x^3|\,\sqrt{1 - \frac{1}{9x^5}}.

Passo 3

Como x\to -\infty, temos x^3<0 e portanto |x^3|=-x^3. Logo o numerador vira
\sqrt{9x^6 - x} = -3\,x^3\,\sqrt{1 - \frac{1}{9x^5}}.
O denominador é
x^3 + 1 = x^3\Bigl(1 + \frac{1}{x^3}\Bigr).

Passo 4

Substituindo no quociente,
\frac{\sqrt{9x^6 - x}}{x^3 + 1} = \frac{-3\,x^3\,\sqrt{1 - \frac{1}{9x^5}}}{x^3\bigl(1+\frac{1}{x^3}\bigr)} = -3\;\frac{\sqrt{1 - \frac{1}{9x^5}}}{1 + \frac{1}{x^3}}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite x\to -\infty. Temos \tfrac{1}{9x^5}\to0 e \tfrac{1}{x^3}\to0, então
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{1 - \frac{1}{9x^5}}}{1 + \frac{1}{x^3}} = \frac{1}{1}=1
e o fator -3 permanece.

Resposta

-3

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