Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime}=\frac{1+y}{1+x}, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y' = \frac{1+y}{1+x},\quad y(0)=1
que é uma EDO de primeira ordem e separável. A ideia é separar os termos com y dos termos com x e depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{dy}{1+y} = \frac{dx}{1+x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{1+y} = \int \frac{dx}{1+x}
o que resulta em
\ln|1+y| = \ln|1+x| + C.

Passo 4

Exponentiando, obtemos
|1+y| = K\,|1+x|,\quad K = e^C.
Usando a condição inicial y(0)=1, temos 1+1=2 e 1+0=1, logo K=2. Como tudo é positivo perto de x=0, podemos eliminar os valores absolutos:
1+y = 2(1+x).

Passo 5

Finalmente, isolamos y:
y = 2(1+x) - 1 = 2x + 1.

Resposta

y(x) = 2x + 1.

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