Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=x^{2} / y

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial dada usando o método de separação de variáveis. A equação é
y'=\frac{x^{2}}{y}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada indicada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve divisão por y, então devo tomar cuidado com pontos onde y=0 (a manipulação algébrica que vou fazer só é válida onde y\neq0).
  • O pedido é a solução geral (constante de integração inclusa), já que não foi dada condição inicial.

Passo 2

Vou explicar o método de separação de variáveis de forma bem direta e prática (tipo receita): se uma EDO pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
então podemos separar as variáveis escrevendo
\frac{1}{g(y)}\,dy=f(x)\,dx,
e integrar ambos os lados. A ideia é colocar tudo que depende de y numa integral com dy e tudo que depende de x numa integral com dx. Depois de integrar, isolamos y. A justificativa é que estamos usando operações algébricas e integrais válidas em intervalos onde as funções são contínuas e onde não fazemos divisões por zero.
Uma regra útil de integração que vou usar é a regra da potência:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq-1,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: escrever y'=\dfrac{dy}{dx} e separar as variáveis. Começo por reescrever a equação:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}.
Multiplico ambos os lados por y e por dx — isto é permitido desde que y\neq0 — obtendo
y\,dy = x^{2}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: tudo com y do lado esquerdo e tudo com x do lado direito.

Passo 4

Integro ambos os lados. Escrevo explicitamente as integrais:
\int y\,dy = \int x^{2}\,dx.
Uso a regra da potência para cada integral. No lado esquerdo, y é a variável de integração (regra: \int y^{1}\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}). No lado direito, \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}. Incluo a constante de integração num dos lados (vou colocar à direita):
\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é constante real arbitrária.

Passo 5

Isolo y^{2} e depois y. Multiplico ambos os lados por 2:
y^{2} = \frac{2}{3}x^{3} + 2C.
Como 2C é só outra constante arbitrária, chamo-a de C_{1}. Assim
y^{2} = \frac{2}{3}x^{3} + C_{1}.
Agora tomo raiz quadrada em ambos os lados. Há duas possibilidades de sinal para a raiz:
y(x)=\pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+C_{1}}.
Aqui C_{1}\in\mathbb{R} é a constante de integração. Cada escolha de C_{1} e de sinal \pm dá uma solução (valida nos intervalos onde o conteúdo da raiz for não negativo e onde y\neq0 quando necessário).

Passo 6

Observações importantes sobre domínio e a validade da solução (o que olhar na prova):
  • A separação que fiz exige y\neq0 enquanto eu multiplico por y. Portanto as soluções obtidas valem em intervalos onde y(x) é diferente de zero (ou em intervalos onde a expressão dentro da raiz é estritamente positiva, para as soluções com sinal).
  • A função dada originalmente, \dfrac{x^{2}}{y}, não está definida onde y=0. Isso significa que uma condição inicial do tipo y(x_{0})=0 não é admissível para esta EDO sem um tratamento especial (não existe solução suave passando por um ponto onde a equação fica indefinida).
  • Se a constante C_{1} for escolhida de modo que \dfrac{2}{3}x^{3}+C_{1}=0 num ponto x_{0}, então a solução formulaicamente dá y(x_{0})=0, mas nesse ponto a equação original é problemática; portanto tratamos a solução como válida em intervalos onde a expressão interna é positiva (ou negativa, mas raiz real exige não negativa).

Passo 7

Exemplo rápido de uso com condição inicial (para treinar): se alguém der y(0)=y_{0} com y_{0}\neq0, substituo x=0 e y=y_{0} na relação y^{2}=\dfrac{2}{3}x^{3}+C_{1} e obtenho C_{1}=y_{0}^{2}. A solução fica
y(x)=\pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+y_{0}^{2}},
e o sinal é escolhido de acordo com o sinal de y_{0} se quisermos a solução que passa por y_{0}.

Passo 8

Resumo rápido do procedimento (o que fazer na prova, passo a passo para lembrar):
  1. Reescrever y'=\dfrac{dy}{dx}.
  2. Separar as variáveis agrupando termos em y com dy e termos em x com dx.
  3. Integrar os dois lados.
  4. Isolar y e incluir a constante de integração.
  5. Verificar domínio (evitar divisões por zero e garantir a raiz real).

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}x^{3}+C}, com C\in\mathbb{R}.

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