Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial dada usando o método de separação de variáveis. A equação é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A incógnita é a função
. - A derivada indicada é
. - A equação envolve divisão por
, então devo tomar cuidado com pontos onde (a manipulação algébrica que vou fazer só é válida onde ). - O pedido é a solução geral (constante de integração inclusa), já que não foi dada condição inicial.
Passo 2
Vou explicar o método de separação de variáveis de forma bem direta e prática (tipo receita): se uma EDO pode ser escrita na forma
então podemos separar as variáveis escrevendo
e integrar ambos os lados. A ideia é colocar tudo que depende de
numa integral com
e tudo que depende de
numa integral com
. Depois de integrar, isolamos
. A justificativa é que estamos usando operações algébricas e integrais válidas em intervalos onde as funções são contínuas e onde não fazemos divisões por zero.
Uma regra útil de integração que vou usar é a regra da potência:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: escrever
e separar as variáveis. Começo por reescrever a equação:
Multiplico ambos os lados por
e por
— isto é permitido desde que
— obtendo
Agora as variáveis estão separadas: tudo com
do lado esquerdo e tudo com
do lado direito.
Passo 4
Integro ambos os lados. Escrevo explicitamente as integrais:
Uso a regra da potência para cada integral. No lado esquerdo,
é a variável de integração (regra:
). No lado direito,
. Incluo a constante de integração num dos lados (vou colocar à direita):
onde
é constante real arbitrária.
Passo 5
Isolo
e depois
. Multiplico ambos os lados por
:
Como
é só outra constante arbitrária, chamo-a de
. Assim
Agora tomo raiz quadrada em ambos os lados. Há duas possibilidades de sinal para a raiz:
Aqui
é a constante de integração. Cada escolha de
e de sinal
dá uma solução (valida nos intervalos onde o conteúdo da raiz for não negativo e onde
quando necessário).
Passo 6
Observações importantes sobre domínio e a validade da solução (o que olhar na prova):
- A separação que fiz exige
enquanto eu multiplico por . Portanto as soluções obtidas valem em intervalos onde é diferente de zero (ou em intervalos onde a expressão dentro da raiz é estritamente positiva, para as soluções com sinal). - A função dada originalmente,
, não está definida onde . Isso significa que uma condição inicial do tipo não é admissível para esta EDO sem um tratamento especial (não existe solução suave passando por um ponto onde a equação fica indefinida). - Se a constante
for escolhida de modo que num ponto , então a solução formulaicamente dá , mas nesse ponto a equação original é problemática; portanto tratamos a solução como válida em intervalos onde a expressão interna é positiva (ou negativa, mas raiz real exige não negativa).
Passo 7
Exemplo rápido de uso com condição inicial (para treinar): se alguém der
com
, substituo
e
na relação
e obtenho
. A solução fica
e o sinal é escolhido de acordo com o sinal de
se quisermos a solução que passa por
.
Passo 8
Resumo rápido do procedimento (o que fazer na prova, passo a passo para lembrar):
- Reescrever
. - Separar as variáveis agrupando termos em
com e termos em com . - Integrar os dois lados.
- Isolar
e incluir a constante de integração. - Verificar domínio (evitar divisões por zero e garantir a raiz real).