Ache as soluções particulares das equações seguintes correspondendo às condições iniciais ou de contorno dadas.
x^prime prime+16 x=12 sen 2 t-16 sen 4 t, x(0)=0, x(pi / 8)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x'' + 16x = 12sin(2t) ;-;16sin(4t)
com condições de contorno x(0)=0 e x(pi/8)=0.
O conteúdo envolvido é EDO linear de segunda ordem, e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução homogênea, depois uma solução particular para cada termo forçante, cuidando de ressonância quando a frequência coincide com a raiz imaginária da homogênea.

Passo 2

A equação homogênea é
x'' + 16x = 0,
cuja equação característica é r^2 +16=0, com raízes r=pm4i. Portanto
xh(t) = Acos(4t) + Bsin(4t)

Passo 3

Para o termo 12sin(2t) não há ressonância (frequência 2neq4), tentamos
xp1(t) = alphasin(2t) + betacos(2t)
Calculando
xp1'' +16xp1 = (-4alphasin2t -4betacos2t)+16(alphasin2t+betacos2t) =12alphasin2t +12betacos2t
que deve ser igual a 12sin2t. Logo
12alpha =12, 12beta=0 Longrightarrow alpha=1,;beta=0,
isto é
xp1(t)=sin(2t)

Passo 4

Para o termo -16sin(4t) há ressonância (frequência 4 coincide), usamos o ansatz
xp2(t) = tl(Ccos(4t)+Dsin(4t)r)
Uma conta padrão mostra que
xp2''+16xp2 = -8Csin(4t)+8Dcos(4t),
que deve igualar -16sin(4t). Assim
-8C=-16, 8D=0 Longrightarrow C=2,;D=0,
ou seja
xp2(t)=2tcos(4t)

Passo 5

A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp1(t)+xp2(t) =Acos(4t)+Bsin(4t)+sin(2t)+2tcos(4t)

Passo 6

Usamos x(0)=0:
x(0)=Acdot1 +Bcdot0 +0+0 = A =0
Usamos x(pi/8)=0:
x(tfracpi8)=0cdotcos(tfracpi2)+Bsin(tfracpi2)+sin(tfracpi4)+2cdottfracpi8cdot0 = B + raiz22 =0 ;Longrightarrow; B=-raiz22

Resposta

x(t)=sin(2t)+2tcos(4t);-;raiz22,sin(4t)

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