Seja
a porção da parábola
contida no primeiro quadrante
, com ponto inicial
e ponto final
. Calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo de
, que é o arco da parábola
do ponto
até
, todo contido no primeiro quadrante.
O conteúdo principal aqui é reconhecer se o campo vetorial
O conteúdo principal aqui é reconhecer se o campo vetorial
é conservativo, pois nesse caso a integral independe do caminho e basta achar um potencial
.
Passo 2
Verificamos se o campo é conservativo comparando
Calculando
Como
e o domínio (primeiro quadrante) é simplesmente conexo, o campo é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
onde
é uma “constante” em relação a
.
Passo 4
Agora impomos
Calculando
devendo igualar a
. Logo
e
é constante. Podemos tomar
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
Calculamos
portanto a integral é
.