Seja gamma a porção da parábola y=x^2-3 x+3 contida no primeiro quadrante x>0, y>0, com ponto inicial (1,1) e ponto final (3,3). Calcular
integralgamma(e^x ln y-e^yx) d x+(e^xy-e^y ln x) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgammal(e^xln y - tfrace^yxr),dx ;+;l(tfrace^xy-e^yln xr),dy
ao longo de gamma, que é o arco da parábola y = x^2 - 3x + 3 do ponto (1,1) até (3,3), todo contido no primeiro quadrante.
O conteúdo principal aqui é reconhecer se o campo vetorial
P(x,y) = e^xln y - e^yx, Q(x,y) = e^xy - e^yln x
é conservativo, pois nesse caso a integral independe do caminho e basta achar um potencial f(x,y).

Passo 2

Verificamos se o campo é conservativo comparando
partial Ppartial y e partial Qpartial x
Calculando
partial Ppartial y = partialpartial yl(e^xln yr) - partialpartial yl(e^yxr) = e^xy ;-;e^yx,
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^xyr) - partialpartial xl(e^yln xr) = e^xy ;-;e^yx
Como partial P/partial y = partial Q/partial x e o domínio (primeiro quadrante) é simplesmente conexo, o campo é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x = P(x,y)
Integramos
f(x,y) = integral l(e^xln y - tfrace^yxr),dx = e^xln y ;-; e^yintegraldxx = e^xln y ;-; e^yln x ;+; h(y),
onde h(y) é uma “constante” em relação a x.

Passo 4

Agora impomos
partial fpartial y = Q(x,y)
Calculando
partialpartial y l(e^xln y - e^yln x + h(y)r) = e^xy - e^yln x + h'(y),
devendo igualar a Q(x,y)=e^xy-e^yln x. Logo h'(y)=0 e h é constante. Podemos tomar
f(x,y) = e^xln y ;-; e^yln x

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
integralgammaP,dx+Q,dy = fl(3,3r);-;fl(1,1r)
Calculamos
f(3,3) = e^3ln 3 - e^3ln 3 = 0, f(1,1) = e^1ln 1 - e^1ln 1 = 0,
portanto a integral é 0 - 0 = 0.

Resposta

0

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