Ache as soluções particulares das equações seguintes correspondentes às condições iniciais ou de contorno dadas.
2 y^prime prime+5 y^prime+-3 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução particular da equação diferencial linear homogênea
2y'' + 5y' - 3y = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método das equações características para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à equação homogênea:
2r^2 + 5r - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo a quadrática por Bhaskara:
r = -5 pm raiz5^2 - 4cdot2cdot(-3)2cdot2 = -5 pm raiz25 + 244 = -5 pm 74
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r1 = tfrac12, r2 = -3
Como são raízes reais distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t/2 + C2 e^-3t

Passo 4

Calculamos a derivada de y(t):
y'(t) = C1 12 e^t/2 + C2(-3)e^-3t = C12e^t/2 - 3C2 e^-3t

Passo 5

Impondo as condições iniciais em t=0:
y(0) = C1 + C2 = 1, y'(0) = tfracC12 - 3C2 = 1
Isso gera o sistema linear em C1,C2.

Passo 6

Da primeira equação vem C1 = 1 - C2. Substituindo na segunda:
1 - C22 - 3C2 = 1 Longrightarrow 12 - C22 - 3C2 = 1 Longrightarrow -72C2 = 12 Longrightarrow C2 = -17
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C1 = 1 - l(-17r) = 87

Resposta

y(t) = 87e^t/2 ;-;17e^-3t

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