Usando o teorema do anulamento, enunciado acima, mostre que
f(x)=x^5+x+1 possui uma raiz no intervalo ]-1,0[

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x^5+x+1
possui pelo menos uma raiz em ,]-1,0[. Esse resultado vem do teorema do valor intermediário (ou teorema do anulamento), que afirma que se uma função contínua f num intervalo [a,b] satisfaz f(a)cdot f(b)<0, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. Polinômios são funções contínuas em toda a reta, então podemos aplicar esse teorema em [-1,0].

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=-1:
f(-1)=(-1)^5+(-1)+1=-1-1+1=-1
Logo
f(-1)=-1<0

Passo 3

Calculamos o valor de f em x=0:
f(0)=0^5+0+1=1
Logo
f(0)=1>0

Passo 4

Como f é contínua em [-1,0] e
f(-1)cdot f(0)=(-1)cdot 1=-1<0,
pelo teorema do valor intermediário existe algum cin(-1,0) tal que
f(c)=0

Resposta

Pelo teorema do valor intermediário, existe pelo menos uma raiz de f(x)=x^5+x+1 no intervalo ,]-1,0[.

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