Calcule as seguintes integrais definidas:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x^2l(1+2x^3r)^5,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (mudança de variável) para simplificar uma composição de polinômios e facilitar a integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 2x^3
Logo
du = 6x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du6
Quando x=0, u=1+2cdot0^3=1.
Quando x=1, u=1+2cdot1^3=3.
Assim a integral em x se transforma em
integral0^1 x^2l(1+2x^3r)^5,dx = integralu=1^u=3 u^5,du6 = 16integral1^3u^5,du

Passo 3

Agora integramos u^5:
integral u^5,du = u^66
Portanto
16integral1^3u^5,du = 16cdotu^66g|1^3 = u^636g|1^3

Passo 4

Avaliaremos de u=1 a u=3:
u^636g|1^3 = 3^6-1^636 = 729 - 136 = 72836 = 1829

Resposta

1829

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