Resolva as equações diferenciais indicadas
y^prime-2x^2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - 2x^2,y = 0
Este tipo de equação é linear e homogênea (pois o termo independente é zero). Podemos resolver usando o método de separação de variáveis ou fator integrante; aqui vamos optar pela separação, já que fica bem direto.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma de taxa de variação, temos
dydx = 2x^2,y
ou seja, as variáveis y e x aparecem de forma que podemos separar os termos em cada lado da igualdade.

Passo 3

Fazemos a separação de variáveis colocando todos os y de um lado e todos os x do outro:
1y,dy = 2x^2,dx

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 2,x^-2,dx
No lado esquerdo vem
integral 1y,dy = ln|y|,
e no direito
integral 2,x^-2,dx = 2integral x^-2,dx = 2l(-x^-1r) = -2x
Logo, após a integração, obtemos
ln|y| = -2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados:
|y| = e^-tfrac2x + C = e^C,e^-tfrac2x
Como e^C é uma constante positiva, podemos chamar C1 = pm e^C e escrever a solução geral como
y(x) = C,e^-tfrac2x,
onde C é uma constante arbitrária real.

Resposta

y(x) = C,e^-tfrac2x,
com C constante de integração.

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