Ache as soluções particulares das equações seguintes correspondentes às condições iniciais ou de contorno dadas.
9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=6

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da EDO homogênea com coeficientes constantes
9,y''-12,y'+4,y=0
sujeita a y(0)=2 e y'(0)=6. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Assumimos y=e^r x. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
9r^2 - 12r + 4 = 0
O discriminante é
De<a = (-12)^2 - 4cdot9cdot4 = 144 - 144 = 0,
logo há raiz dupla
r = 122cdot9 = 23

Passo 3

Para raiz dupla r=tfrac23, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr),e^23x

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar a segunda condição inicial:
y'(x) = ddxl[(C1 + C2 x)e^23xr] = l(C2 + tfrac23(C1 + C2 x)r),e^23x

Passo 5

Em x=0:
  • y(0)=C1=2.
  • y'(0)=C2 + tfrac23C1 =6 Rightarrow C2 + tfrac43=6 Rightarrow C2=6-tfrac43=tfrac143

Resposta

y(x) = l(2 + tfrac143,xr),e^23x

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