(valor: 1,5) Calcule lim (x, y) (0,0) x^3+x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^3+x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1
O conteúdo aqui é cálculo de limite duplo com indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar racionalização de radicais (multiplicar pelo conjugado) para eliminar a raiz no denominador.

Passo 2

Note que ao substituir (x,y)=(0,0) temos numerador 0+0+0=0 e denominador raiz1-1=0, ou seja, forma tfrac00. Para resolver, multiplicamos numerador e denominador por
raizx^2+y^2+1+1, que é o conjugado de raizx^2+y^2+1-1.

Passo 3

Multiplicando, obtemos
x^3+x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1 ;cdot; raizx^2+y^2+1+1raizx^2+y^2+1+1 = (x^3+x^2+y^2)l(raizx^2+y^2+1+1r)l(raizx^2+y^2+1-1r)l(raizx^2+y^2+1+1r)

Passo 4

No denominador usamos (A-1)(A+1)=A^2-1 com A=raizx^2+y^2+1, então
l(raizx^2+y^2+1r)^2-1 = (x^2+y^2+1)-1 = x^2+y^2
Assim a expressão vira
(x^3+x^2+y^2)l(raizx^2+y^2+1+1r)x^2+y^2

Passo 5

Chamando r^2=x^2+y^2, escrevemos
x^3+x^2+y^2r^2;l(raiz1+r^2+1r) = l(x^3r^2 + x^2+y^2r^2r),l(raiz1+r^2+1r)
Quando (x,y)to(0,0) temos rto0, logo raiz1+r^2to1. Além disso
x^3r^2 = xcdotr^2r^2;até sinalto0, x^2+y^2r^2 =1 é

Passo 6

Portanto o limite vale
l(0 + 1r),l(1+1r) = 2

Resposta

2

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