1. Prove que o grupo dos automorfismos de Z é o isomorfo a Z2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo dos automorfismos de Z (como grupo aditivo) é isomorfo a Z2.
Conteúdo envolvido: teoria de grupos cíclicos, homomorfismos e automorfismos.
Vamos usar o fato de que todo homomorfismo de um grupo cíclico é determinado pela imagem de um gerador, e que em Z os únicos geradores são 1 e -1.

Passo 2

Seja fcolon ZtoZ um automorfismo. Como Z é cíclico gerado por 1, para todo ninZ temos
f(n)=f(underbrace1+1+cdots+1n vezes)=n,f(1),
onde, no caso de n<0, interpretamos n,f(1) como soma de -n cópias de -f(1).

Passo 3

Para que f seja bijetora (isto é, um automorfismo), a imagem f(1) deve gerar todo Z. Os únicos elementos que geram Z são 1 e -1. Logo
f(1)in1,,-1,
e não há outras possibilidades.

Passo 4

Definimos
  1. é sobrejetora porque para cada existe com .
  2. é injetora pois se então, pelo passo 2, para todo , logo .
  3. preserva a operação de grupo (composição em e multiplicação em ):
Portanto é isomorfismo de grupos.

Resposta

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