Prove que o grupo dos automorfismos de é o isomorfo a .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo dos automorfismos de (como grupo aditivo) é isomorfo a .
Conteúdo envolvido: teoria de grupos cíclicos, homomorfismos e automorfismos.
Vamos usar o fato de que todo homomorfismo de um grupo cíclico é determinado pela imagem de um gerador, e que em os únicos geradores são e .
Passo 2
Seja um automorfismo. Como é cíclico gerado por , para todo temos
onde, no caso de n<0, interpretamos n,f(1) como soma de -n cópias de -f(1).
Passo 3
Para que f seja bijetora (isto é, um automorfismo), a imagem f(1) deve gerar todo Z. Os únicos elementos que geram Z são 1 e -1. Logo
f(1)in1,,-1,
e não há outras possibilidades.
Passo 4
Definimos
é sobrejetora porque para cada existe com .
é injetora pois se então, pelo passo 2, para todo , logo .
preserva a operação de grupo (composição em e multiplicação em ):