Ache as soluções do problema com valor inicial dado.
2 y^prime prime-y^prime-3 y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=-7 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais:
2 y'' - y' - 3 y = 0 com y(0) = 2, y'(0) = -72
Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar as soluções gerais da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo a r^2 + b r + c = 0, a equação característica é:
2 r^2 - r - 3 = 0
No nosso caso, , , e . Então:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4ac2a. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 2 cdot (-3)2 cdot 2
Substituindo os valores:
r = 1 pm raiz1 + 244
r = 1 pm raiz254
r = 1 pm 54
r1 = 64 = 32
Então, temos duas soluções para r2 = -44 = -1:

Passo 4

Com as raízes y(x) = A e^r1 x + B e^r2 x e y(x) = A e^32 x + B e^-x, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Substituindo os valores de e :
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 2. Substituindo A + B = 2 na solução geral:
Então, temos a primeira equação:

Passo 6

Vamos agora usar a segunda condição inicial y'(x) = 32 A e^32 x - B e^-x. Primeiro, encontramos a derivada de y'(0) = 32 A e^0 - B e^0 = 32 A - B = -72:
32 A - B = -72
Substituindo :
Então, temos a segunda equação:

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
  1. A + B + 32 A - B = 2 - 72
  2. 52 A = -32
Vamos somar as duas equações:
A = -32 div 52 = -35
Simplificando:
-35 + B = 2
B = 2 + 35 = 135
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do problema com as condições iniciais dadas é:
y(x) = -35 , e^32 x + 135 , e^-x

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