Ache as soluções do problema com valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais:
Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar as soluções gerais da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é:
No nosso caso,
,
, e
. Então:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 4
Com as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Substituindo os valores de
e
:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Então, temos a primeira equação:
Passo 6
Vamos agora usar a segunda condição inicial
. Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Então, temos a segunda equação:
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Vamos somar as duas equações:
Simplificando:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Resposta
A solução do problema com as condições iniciais dadas é: