Determine uma solução geral para a seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
. Uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem tem a forma
. No nosso caso,
,
(porque não tem termo com
), e
.
Passo 3
Agora, para resolver usando as equações características, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos descobrir. Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Passo 4
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:
Passo 5
Resolvendo a equação característica para
:
Aqui, vemos que temos raízes complexas, onde
é a unidade imaginária.
Passo 6
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula da solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da equação é: