Determine uma solução geral para a seguinte equação:
3 y^prime prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar: . Uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem tem a forma . No nosso caso, , (porque não tem termo com ), e .

Passo 3

Agora, para resolver usando as equações características, assumimos uma solução do tipo 3 (r^2 e^rt) + 2 e^rt = 0 , onde é um número que vamos descobrir. Substituindo e suas derivadas na equação original:

Passo 4

Podemos fatorar e^rt (3 r^2 + 2) = 0 (que nunca é zero):
3 r^2 + 2 = 0
Isso nos dá a equação característica:

Passo 5

Resolvendo a equação característica para 3 r^2 + 2 = 0 implies r^2 = -23 implies r = pm i raiz23 :
Aqui, vemos que temos raízes complexas, onde é a unidade imaginária.

Passo 6

Quando as raízes são complexas da forma y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ) , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e .

Passo 7

Substituindo y(x) = C1 cos(raiz23,x) + C2 sin(raiz23,x) e na fórmula da solução geral, temos:

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 cos(raiz23,x) + C2 sin(raiz23,x)

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