Um móvel desloca-se em linha reta com aceleração proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Determine a função posição
do móvel, supondo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento em linha reta onde a aceleração do móvel depende de uma combinação entre a velocidade e a posição dele. Especificamente, a aceleração é proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. O nosso objetivo é encontrar a função que descreve a posição $ y(t) $ do móvel ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como coisas mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a descrição do problema em uma equação matemática. Sabemos que a aceleração $ y’’(t) $ é proporcional à diferença entre a velocidade $ y’(t) $ e a posição $ y(t) $. Podemos escrever isso como:
Aqui, $ k $ é a constante de proporcionalidade que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos identificar as condições iniciais que nos são dadas:
Essas condições vão nos ajudar a encontrar os valores das constantes que aparecerão na solução da equação diferencial.
Passo 4
Substituindo $ t = 0 $ na equação que montamos:
Então, a equação diferencial fica:
Ou seja:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 6
Como as raízes são complexas $ 1 \pm i $, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicando a condição $ y(0) = 0 $:
Então, a função simplifica para:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição $ y’(0) = 1 $. Primeiro, derivamos $ y(t) $:
Então:
Resposta
A função posição do móvel é: