Um móvel desloca-se em linha reta com aceleração proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Determine a função posição y=y(t) do móvel, supondo que y^prime prime(0)=2, y^prime(0)=1 e y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento em linha reta onde a aceleração do móvel depende de uma combinação entre a velocidade e a posição dele. Especificamente, a aceleração é proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. O nosso objetivo é encontrar a função que descreve a posição $ y(t) $ do móvel ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como coisas mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a descrição do problema em uma equação matemática. Sabemos que a aceleração $ y’’(t) $ é proporcional à diferença entre a velocidade $ y’(t) $ e a posição $ y(t) $. Podemos escrever isso como:
y''(t)
Aqui, $ k $ é a constante de proporcionalidade que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos identificar as condições iniciais que nos são dadas:
y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 2
Essas condições vão nos ajudar a encontrar os valores das constantes que aparecerão na solução da equação diferencial.

Passo 4

Substituindo $ t = 0 $ na equação que montamos:
t = 0
Então, a equação diferencial fica:
y''(0) = k ( y'(0) - y(0) ) 2 = k ( 1 - 0 ) k = 2
Ou seja:
y''(t) = 2 ( y'(t) - y(t) )

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada:
r^2 - 2r + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42 = 1 pm i

Passo 6

Como as raízes são complexas $ 1 \pm i $, a solução geral da equação diferencial é:
1 pm i
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando a condição $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Então, a função simplifica para:
y(0) = e^0 ( A cos 0 + B sin 0 ) = A = 0

Passo 8

Agora, aplicamos a condição $ y’(0) = 1 $. Primeiro, derivamos $ y(t) $:
y'(0) = 1
Então:
y(t)

Resposta

A função posição do móvel é:
y(t) = e^t sin t

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