Ache as soluções reais de raiz[3]x+raiz[3]2 x-3=raiz[3]12(x-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as soluções reais da equação raiz[3]x + raiz[3]2x - 3 = raiz[3]12(x - 1). Aqui, estamos lidando com funções de radiciação, especificamente raízes cúbicas. Para resolver essa equação, vamos usar propriedades das raízes e álgebra básica para isolar e encontrar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos chamar cada raiz cúbica de uma variável diferente para tornar a expressão mais clara. Seja:
a = raiz[3]x
b = raiz[3]2x - 3
c = raiz[3]12(x - 1)
Assim, a equação fica:
a + b = c

Passo 3

Agora, sabemos que a^3 = x, b^3 = 2x - 3 e c^3 = 12(x - 1). Vamos expressar c em termos de a e b:
c = a + b
Então, elevando ambos os lados ao cubo:
c^3 = (a + b)^3

Passo 4

Explicando a expansão de (a + b)^3, temos:
(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)
Sabendo que c = a + b, substituímos:
c^3 = a^3 + b^3 + 3ab cdot c

Passo 5

Sabendo que a^3 = x, b^3 = 2x - 3 e c^3 = 12(x - 1), substituímos na equação:
12(x - 1) = x + (2x - 3) + 3ab cdot c
Simplificando:
12x - 12 = 3x - 3 + 3ab cdot c

Passo 6

Vamos organizar a equação para isolar ab cdot c:
12x - 12 - 3x + 3 = 3ab cdot c
9x - 9 = 3ab cdot c
3x - 3 = ab cdot c

Passo 7

Agora, queremos encontrar ab cdot c. Sabemos que:
ab = raiz[3]x cdot raiz[3]2x - 3 = raiz[3]x(2x - 3)
E c = raiz[3]12(x - 1), então:
ab cdot c = raiz[3]x(2x - 3) cdot raiz[3]12(x - 1) = raiz[3]12x(x - 1)(2x - 3)

Passo 8

Voltando à equação 3x - 3 = ab cdot c, substituímos ab cdot c:
3x - 3 = raiz[3]12x(x - 1)(2x - 3)
Para eliminar a raiz cúbica, elevamos ambos os lados ao cubo:
(3x - 3)^3 = 12x(x - 1)(2x - 3)

Passo 9

Expandindo o lado esquerdo:
(3x - 3)^3 = 27x^3 - 81x^2 + 81x - 27
E simplificando o lado direito:
12x(x - 1)(2x - 3) = 12x(2x^2 - 5x + 3) = 24x^3 - 60x^2 + 36x

Passo 10

Agora, igualamos os dois lados:
27x^3 - 81x^2 + 81x - 27 = 24x^3 - 60x^2 + 36x
Subtraindo 24x^3 - 60x^2 + 36x de ambos os lados:
3x^3 - 21x^2 + 45x - 27 = 0

Passo 11

Podemos simplificar dividindo toda a equação por 3:
x^3 - 7x^2 + 15x - 9 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica. Vamos tentar encontrar as raízes reais usando o método de tentativa e erro ou fatoração.

Passo 12

Vamos testar x = 1:
1 - 7 + 15 - 9 = 0
Então, x = 1 é uma raiz da equação. Agora, podemos fatorar (x - 1) da equação cúbica:
(x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0

Passo 13

Agora, resolvemos a equação quadrática x^2 - 6x + 9 = 0:
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 6 pm raiz36 - 362 = 6 pm 02 = 3
Então, x = 3 é uma raiz dupla.

Resposta

As soluções reais da equação são x = 1 e x = 3.

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