O domínio da função
é:
a)
e
ou
b)
ou
e
ou
c)
ou
e
ou
d)
e
ou
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o domínio da função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{y - y{2}}}{\sqrt{x{2} + 2x}} $. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir que as expressões dentro das raízes quadradas sejam não negativas e que o denominador não seja zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador: $ \sqrt{y - y^{2}} $. Para que essa raiz exista, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então temos:
Fatorando, fica:
Isso significa que $ y $ deve estar entre 0 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos para o denominador: $ \sqrt{x^{2} + 2x} $. Para essa raiz ser válida e o denominador não ser zero, precisamos que:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, fatoramos:
Isso nos diz que o produto será positivo quando ambos os fatores forem positivos ou ambos negativos. Então:
- $ x < -2 $ (ambos negativos)
- $ x > 0 $ (ambos positivos)
Passo 4
Juntando as duas condições que encontramos:
Isso define o domínio da função $ f(x, y) $.
Resposta
A alternativa correta é:
d) $ D = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq y \leq 1 e x < -2 ou x > 0 \right} $