O domínio da função f(x, y)=raizy-y^2raizx^2+2 x é:
a) D=(x, y) in R^2 / 0 <= y <= 1 e x<0 ou x>2
b) D=(x, y) in R^2 / y <=-1 ou y >= 0 e x<0 ou x>2
c) D=(x, y) in R^2 / y <=-1 ou y >= 0 e x<-2 ou x>0
d) D=(x, y) in R^2 / 0 <= y <= 1 e x<-2 ou x>0
e) D=(x, y) in R^2 / 0 <= y <= 1 e-2 <= x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o domínio da função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{y - y{2}}}{\sqrt{x{2} + 2x}} $. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares f(x, y) = raizy - y^2raizx^2 + 2x para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir que as expressões dentro das raízes quadradas sejam não negativas e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: $ \sqrt{y - y^{2}} $. Para que essa raiz exista, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então temos:
raizy - y^2
Fatorando, fica:
y - y^2 >= 0
Isso significa que $ y $ deve estar entre 0 e 1, ou seja:
y(1 - y) >= 0

Passo 3

Agora, vamos para o denominador: $ \sqrt{x^{2} + 2x} $. Para essa raiz ser válida e o denominador não ser zero, precisamos que:
raizx^2 + 2x
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, fatoramos:
x^2 + 2x > 0
Isso nos diz que o produto será positivo quando ambos os fatores forem positivos ou ambos negativos. Então:
  • $ x < -2 $ (ambos negativos)
  • $ x > 0 $ (ambos positivos)

Passo 4

Juntando as duas condições que encontramos:
0 <= y <= 1 e x < -2 ou x > 0
Isso define o domínio da função $ f(x, y) $.

Resposta

A alternativa correta é:
d) $ D = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq y \leq 1 e x < -2 ou x > 0 \right} $

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