Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
14)
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Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x² ln(1+x) em torno de c=0. Vamos usar o desenvolvimento conhecido de ln(1+x) e depois multiplicar por x².
Passo 2
A base é a expansão de Maclaurin de ln(1+x):
Passo 3
Para obter f(x)=x² ln(1+x), multiplicamos termo a termo por x²:
Reindexando k=n+2, temos k=3,4,5,… e (-1){n+1}=(-1){k-1}, dando
Em forma de termos explícitos:
Passo 4
A série de ln(1+x) converge para |x|<1 (raio de convergência 1). Multiplicando por x² não altera o raio, então f(x) converge para |x|<1. No ponto x=1 a série alternada converge condicionalmente (dá ln2) e em x=−1 diverge.