Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
14) f(x)=x^2 ln (1+x) c=0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x² ln(1+x) em torno de c=0. Vamos usar o desenvolvimento conhecido de ln(1+x) e depois multiplicar por x².

Passo 2

A base é a expansão de Maclaurin de ln(1+x):
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^nn, |x|<1

Passo 3

Para obter f(x)=x² ln(1+x), multiplicamos termo a termo por x²:
f(x)=x^2sumn=1^infty(-1)^n+1x^nn =sumn=1^infty(-1)^n+1x^n+2n
Reindexando k=n+2, temos k=3,4,5,… e (-1){n+1}=(-1){k-1}, dando
f(x)=sumk=3^infty(-1)^k-1x^kk-2
Em forma de termos explícitos:
f(x)=x^3-x^42+x^53-x^64+cdots

Passo 4

A série de ln(1+x) converge para |x|<1 (raio de convergência 1). Multiplicando por x² não altera o raio, então f(x) converge para |x|<1. No ponto x=1 a série alternada converge condicionalmente (dá ln2) e em x=−1 diverge.

Resposta

f(x)=x^2ln(1+x)=x^3-x^42+x^53-x^64+cdots=sumn=1^infty(-1)^n+1x^n+2n, |x|<1

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