Seja D=(u, v) mid u^2+v^2 <= 1, u >= 0, v >= 0 e r(u, v)=(u+v, u-v, u v).
(a) Determine integral duplaS f d S, onde f(x, y, z)=4.
(b) Encontre o valor de integral duplaS F cdot d S, onde F=x i+y j+z k.

Passo 1

Vamos resolver uma superfície parametrizada por r(u,v)=(u+v,,u-v,,u v) no domínio D=(u,v):u^2+v^2<=1,,u>=0,v>=0. Precisamos calcular (a) integral duplaS4,dS e (b) integral duplaS Fcdot d S com F=(x,y,z).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e o vetor normal não unitário:
ru=(1,1,v), rv=(1,-1,u)
O produto vetorial é
rutimes rv=(u+v,,v-u,,-2)
Sua norma é
$$||\mathbf r_u\times\mathbf r_v||=\sqrt{(u+v)2+(v-u)2+4}=\sqrt{2(u2+v2+2)}=\sqrt2,\sqrt{u2+v2+2}.
$$

Passo 3

Para (a) usamos
$$\iint_S4,dS=\iint_D4,||\mathbf r_u\times\mathbf r_v||,dudv=4\sqrt2\iint_D\sqrt{u2+v2+2},dudv.
integral duplaS4,dS=integral duplaD4,|| rutimes rv||,dudv=4raiz2integral duplaDraizu^2+v^2+2,dudv ã\iint_S4,dS=4\sqrt2\int_0{\pi/2}!d\theta\int_01r\sqrt{r^2+2},dr.
u=rcostheta,,v=rsinthetaçã\iint_S4,dS=\frac{2\sqrt2\pi}{3}\bigl(3\sqrt3-2\sqrt2\bigr).
$$

Passo 4

Para (b) primeiro calculamos
$$\mathbf F(\mathbf r(u,v))=(u+v,,u-v,,uv)
F( r(u,v))=(u+v,,u-v,,uv) \mathbf F\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)=(u+v)^2+(v-u)(u-v)-2uv=2uv.
$$

Passo 5

Agora
$$\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iint_D2uv,dudv.
integral duplaS Fcdot d S=integral duplaD2uv,dudv \int_0{\pi/2}!\cos\theta\sin\theta,d\theta\int_012r^3,dr=\frac12\cdot\frac12=\frac14.
$$

Resposta

(a) 2raiz2pi3l(3raiz3-2raiz2r);
(b) 14.

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