Seja
e
.
(a) Determine
, onde
.
(b) Encontre o valor de
, onde
.
(a) Determine
(b) Encontre o valor de
Passo 1
Vamos resolver uma superfície parametrizada por
no domínio
. Precisamos calcular (a)
e (b)
com
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e o vetor normal não unitário:
O produto vetorial é
Sua norma é
$$||\mathbf r_u\times\mathbf r_v||=\sqrt{(u+v)2+(v-u)2+4}=\sqrt{2(u2+v2+2)}=\sqrt2,\sqrt{u2+v2+2}.
$$
Passo 3
Para (a) usamos
$$\iint_S4,dS=\iint_D4,||\mathbf r_u\times\mathbf r_v||,dudv=4\sqrt2\iint_D\sqrt{u2+v2+2},dudv.
$$
Passo 4
Para (b) primeiro calculamos
$$\mathbf F(\mathbf r(u,v))=(u+v,,u-v,,uv)
$$
Passo 5
Agora
$$\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iint_D2uv,dudv.
$$
Resposta
(a)
;
(b) .
(b)