Ache a soma da série abaixo (dica: coloque x em evidência e faça uma ligação com uma série geométrica).
x+2 x^2+ldots+n x^n+ldots(|x|<1) R x(1-x)^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita x + 2x^2 + 3x^3 + dots + n x^n + dots no domínio |x|<1. O assunto principal é soma de séries de potências, e vamos usar a soma da série geométrica e operações de cálculo (diferenciação termo a termo) para chegar ao resultado.

Passo 2

Começamos lembrando da série geométrica básica: para |x|<1 vale
sumn=0^infty x^n = 11-x

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Na soma temos
ddx sumn=0^infty x^n = sumn=1^infty n x^n-1,
e, diferenciado o lado direito, obtemos
ddxl(tfrac11-xr) = 1(1-x)^2
Portanto
sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1-x)^2

Passo 4

Para voltar à forma original sumn=1^infty n x^n, basta multiplicar ambos os lados por x, o que “coloca em evidência” o x:
x sumn=1^infty n x^n-1 = sumn=1^infty n x^n = x(1-x)^2

Resposta

sumn=1^infty n x^n = x(1-x)^2, |x|<1

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