a) A tabela de operação (*) do grupo S3 é
circ f1 f2 f3 f4 f5 f6
f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6
f2 f2 f1 f5 f6 f3 f4
f3 f3 f4 f1 f2 f6 f5
f4 f4 f3 f6 f5 f1 f2
f5 f5 f6 f2 f1 f4 f3
f6 f6 f5 f4 f3 f2 f1
Resolva em S3 a equação f2 circ x circ x circ x circ f5^-1=f6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é da área de Teoria dos Grupos, mais especificamente do grupo $ S_{3} $, que é o grupo das permutações de 3 elementos. A tabela de operação (*) que você mostrou nos dá como os elementos do grupo se combinam. A gente precisa resolver a equação:
S3
Para resolver isso, vamos precisar entender como realizar operações dentro do grupo $ S_{3} $, encontrar o inverso de um elemento e resolver a equação para achar o $ x $ que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o inverso de $ f_{5} $. O inverso de um elemento $ f $ em um grupo é aquele que, quando combinado com $ f $ através da operação do grupo, resulta no elemento neutro $ f_{1} $. Olhando a tabela:
  • Procuramos na coluna de $ f_{5} $ na linha de cada elemento para ver qual combinação dá $ f_{1} $.
  • Vendo a tabela, vemos que $ f_{5} \circ f_{5} = f_{1} $.
  • Então, o inverso de $ f_{5} $ é ele mesmo: $ f_{5}^{-1} = f_{5} $.

Passo 3

Agora, substituímos $ f_{5}^{-1} $ na equação:
f5^-1
Nosso objetivo é isolar o $ x $. Para facilitar, vamos reunir os $ x $ juntos:
f2 circ x circ x circ x circ f5 = f6
Aqui, $ x^{3} $ significa aplicar a operação $ x $ três vezes.

Passo 4

Para isolar $ x^{3} $, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela operação inversa de $ f_{2} $ no início. O inverso de $ f_{2} $ é $ f_{2} $ mesmo, já que $ f_{2} \circ f_{2} = f_{1} $:
x^3
Simplificando:
f2
E como $ f_{1} $ é o elemento neutro, temos:
f2

Passo 5

Vamos calcular $ f_{2} \circ f_{6} $ usando a tabela:
  • Na linha $ f_{2} $ e coluna $ f_{6} $, o resultado é $ f_{4} $.
Então, a equação fica:
f2 circ f6

Passo 6

Agora, para encontrar $ x^{3} $, vamos multiplicar ambos os lados pela operação inversa de $ f_{5} $, que já sabemos que é $ f_{5} $:
x^3
Como $ f_{5} \circ f_{5} = f_{1} $, temos:
f5
E, novamente, $ f_{1} $ é neutro:
f5

Passo 7

Vamos calcular $ f_{4} \circ f_{5} $ usando a tabela:
  • Na linha $ f_{4} $ e coluna $ f_{5} $, o resultado é $ f_{1} $.
Portanto:
f4 circ f5
Isso significa que $ x $ é um elemento de ordem 3 no grupo $ S_{3} $, ou seja, quando multiplicado três vezes, resulta no elemento neutro.

Passo 8

Agora, identificamos quais elementos em $ S_{3} $ têm ordem 3. Olhando a tabela e conhecendo as propriedades de $ S_{3} $:
  • $ f_{2} $: $ f_{2} \circ f_{2} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
  • $ f_{3} $: $ f_{3} \circ f_{3} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
  • $ f_{4} $: $ f_{4} \circ f_{4} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
  • $ f_{5} $: $ f_{5} \circ f_{5} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
  • $ f_{6} $: $ f_{6} \circ f_{6} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
Parece que nenhum elemento além de $ f_{1} $ tem ordem 3, o que sugere que não há solução no grupo $ S_{3} $ para essa equação.

Resposta

Não existe nenhum elemento $ x $ em $ S_{3} $ que satisfaça a equação $ f_{2} \circ x \circ x \circ x \circ f_{5}^{-1} = f_{6} $.

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