a) A tabela de operação (*) do grupo
é
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Resolva em
a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é da área de Teoria dos Grupos, mais especificamente do grupo $ S_{3} $, que é o grupo das permutações de 3 elementos. A tabela de operação (*) que você mostrou nos dá como os elementos do grupo se combinam. A gente precisa resolver a equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender como realizar operações dentro do grupo $ S_{3} $, encontrar o inverso de um elemento e resolver a equação para achar o $ x $ que satisfaz essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é o inverso de $ f_{5} $. O inverso de um elemento $ f $ em um grupo é aquele que, quando combinado com $ f $ através da operação do grupo, resulta no elemento neutro $ f_{1} $. Olhando a tabela:
- Procuramos na coluna de $ f_{5} $ na linha de cada elemento para ver qual combinação dá $ f_{1} $.
- Vendo a tabela, vemos que $ f_{5} \circ f_{5} = f_{1} $.
- Então, o inverso de $ f_{5} $ é ele mesmo: $ f_{5}^{-1} = f_{5} $.
Passo 3
Agora, substituímos $ f_{5}^{-1} $ na equação:
Nosso objetivo é isolar o $ x $. Para facilitar, vamos reunir os $ x $ juntos:
Aqui, $ x^{3} $ significa aplicar a operação $ x $ três vezes.
Passo 4
Para isolar $ x^{3} $, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela operação inversa de $ f_{2} $ no início. O inverso de $ f_{2} $ é $ f_{2} $ mesmo, já que $ f_{2} \circ f_{2} = f_{1} $:
Simplificando:
E como $ f_{1} $ é o elemento neutro, temos:
Passo 5
Vamos calcular $ f_{2} \circ f_{6} $ usando a tabela:
- Na linha $ f_{2} $ e coluna $ f_{6} $, o resultado é $ f_{4} $.
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, para encontrar $ x^{3} $, vamos multiplicar ambos os lados pela operação inversa de $ f_{5} $, que já sabemos que é $ f_{5} $:
Como $ f_{5} \circ f_{5} = f_{1} $, temos:
E, novamente, $ f_{1} $ é neutro:
Passo 7
Vamos calcular $ f_{4} \circ f_{5} $ usando a tabela:
- Na linha $ f_{4} $ e coluna $ f_{5} $, o resultado é $ f_{1} $.
Portanto:
Isso significa que $ x $ é um elemento de ordem 3 no grupo $ S_{3} $, ou seja, quando multiplicado três vezes, resulta no elemento neutro.
Passo 8
Agora, identificamos quais elementos em $ S_{3} $ têm ordem 3. Olhando a tabela e conhecendo as propriedades de $ S_{3} $:
- $ f_{2} $: $ f_{2} \circ f_{2} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
- $ f_{3} $: $ f_{3} \circ f_{3} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
- $ f_{4} $: $ f_{4} \circ f_{4} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
- $ f_{5} $: $ f_{5} \circ f_{5} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
- $ f_{6} $: $ f_{6} \circ f_{6} = f_{1} $ ⇒ ordem 2
Parece que nenhum elemento além de $ f_{1} $ tem ordem 3, o que sugere que não há solução no grupo $ S_{3} $ para essa equação.
Resposta
Não existe nenhum elemento $ x $ em $ S_{3} $ que satisfaça a equação $ f_{2} \circ x \circ x \circ x \circ f_{5}^{-1} = f_{6} $.