Determine as taxas de variação máxima e mínima de f no ponto dado e a direção em que ambos ocorrem
f(s, t)=t e^s t, P=(0,2);

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de taxas de variação em funções de duas variáveis. O enunciado pede para determinar as taxas de variação máxima e mínima da função $ f(s, t) = t e^{s t} $ no ponto $ P = (0, 2) $, além de encontrar as direções em que essas variações ocorrem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ s $ e $ t $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção individualmente.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ s $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ t $ é:
s

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto $ P = (0, 2) $.
Substituindo $ s = 0 $ e $ t = 2 $ em $ f_s $:
P = (0, 2)
Substituindo $ s = 0 $ e $ t = 2 $ em $ f_t $:
s = 0

Passo 4

O vetor gradiente de $ f $ no ponto $ P $ é dado por:
f
O gradiente aponta na direção de maior taxa de variação da função.

Passo 5

A taxa de variação máxima no ponto $ P $ é igual ao módulo do gradiente:
P
Essa é a taxa de variação máxima e ocorre na direção do gradiente $ \nabla f§ = (4, 1) $.

Passo 6

A taxa de variação mínima é igual ao negativo do módulo do gradiente:
-raiz17
Essa taxa ocorre na direção oposta ao gradiente, ou seja, na direção de $ -\nabla f§ = (-4, -1) $.

Resposta

A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto $ P = (0, 2) $ é $ \sqrt{17} $, ocorrendo na direção do vetor $ (4, 1) $. A taxa de variação mínima é $ -\sqrt{17} $, ocorrendo na direção oposta, $ (-4, -1) $.

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