Ache todas as assíntotas do gráfico de cada função:
f(x)=1x(x+1)-1x

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas do gráfico da função
f(x)=1x(x+1)-1x
Aqui o conteúdo é análise de assíntotas de função racional: vamos precisar simplificar a função, estudar seu domínio e calcular limites em pontos singulares (para assíntotas verticais) e em pminfty (para assíntotas horizontais ou oblíquas).

Passo 2

Simplificamos f(x) combinando as frações:
f(x)=1x(x+1)-1x =1-(x+1)x(x+1) =-xx(x+1) =-1x+1,
válido para xneq0 e xneq-1. Logo o domínio original é Rsetminus0,-1, mas a forma simplificada é -1/(x+1) com um “buraco” em x=0.

Passo 3

Para assíntotas verticais buscamos valores onde o valor absoluto de f(x) tende a infty. Na forma simplificada -1/(x+1) o denominador se anula em x=-1.
limxto-1^pmf(x) =limxto-1^pml(-1x+1r) =pminfty
Portanto x=-1 é assíntota vertical. Em x=0 há apenas uma descontinuidade removível (buraco), pois
limxto0f(x)=-10+1=-1
não gera infinito.

Passo 4

Para assíntota horizontal examinamos
limxtopminftyf(x) =limxtopminftyl(-1x+1r) =0
Como o limite é finito e igual para +infty e -infty, existe uma assíntota horizontal em y=0. Não há assíntota oblíqua.

Resposta

Assíntota vertical: x=-1
Assíntota horizontal: y=0

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