Calcule.
integral duplaB raizx^2+y^2 d x d y, onde B=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= R^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaB raizx^2+y^2;dx,dy
onde B=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<= R^2.
Isso cai no tema de integrais duplas em coordenadas polares, em que usamos a transformação
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares, temos
raizx^2+y^2=r,
e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Logo o integrando fica
r times r = r^2
O domínio B torna-se 0<= r<= R,;0<=theta<=2pi.

Passo 3

Escrevendo a integral em polares:
integral duplaB raizx^2+y^2;dx,dy = integral0^2pi!integral0^R r^2,dr,dtheta
Primeiro calculamos a integral em r:
integral0^R r^2,dr = l[tfracr^33r]0^R = R^33

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^2pi R^33,dtheta = R^33,l[,thetar]0^2pi = R^33,(2pi) = 2pi R^33

Resposta

integral duplaB raizx^2+y^2;dx,dy = 2pi R^33

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