Calcule.
integral duplaR e^-x^2-y^2 d A, onde R é o disco x^2+y^2 <= R^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR e^-x^2-y^2,dA
onde R é o disco definido por x^2+y^2<= R^2. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, usando x=rcostheta, y=rsintheta e dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares a região fica
R=(r,theta)mid 0<= r<= R,;0<=theta<=2pi
e a integral torna-se
integral duplaR e^-x^2-y^2,dA = integraltheta=0^2piintegralr=0^R e^-r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Calcule primeiro a integral em r. Use a substituição u = r^2, de modo que du = 2r,dr, isto é, r,dr = tfrac12,du. Então
integralr=0^R r,e^-r^2,dr = 12integralu=0^R^2 e^-u,du = 12l[-e^-ur]0^R^2 = 12l(1 - e^-R^2r)

Passo 4

Agora multiplique pelo fator da integral em theta:
integraltheta=0^2pidtheta = 2pi
Logo
integral duplaR e^-x^2-y^2,dA = 2pi cdot 12l(1 - e^-R^2r) = pil(1 - e^-R^2r)

Resposta

integral duplaR e^-x^2-y^2,dA = pil(1 - e^-R^2r)

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