Ache todas as assíntotas do gráfico de cada função:
f(x)=x^3+x^2+x-1x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as assíntotas da função rational
f(x)=x^3+x^2+x-1x^2-1
Para isso, vamos usar ( 1) análise de assíntotas verticais, resolvendo o denominador igual a zero e checando o numerador; ( 2) comparação dos graus do numerador e denominador para determinar assíntota horizontal ou oblíqua; ( 3) se necessário, divisão polinomial para obter a forma f(x)= polinômio + resto/(denominador).

Passo 2

Para as assíntotas verticais, resolvemos
x^2-1=0:
Rightarrow x=pm 1.
Em seguida, avaliamos o numerador em x=1 e x=-1:
x=1:;1+1+1-1=2neq 0, x=-1:;-1+1-1-1=-2neq 0
Como o numerador não se anula em x=pm 1, ambas são assíntotas verticais:
;x=1 e ;x=-1.

Passo 3

Como o grau do numerador ( 3) é maior que o do denominador ( 2), esperamos uma assíntota oblíqua. Fazemos a divisão polinomial:
x^3+x^2+x-1x^2-1 = x+1 + 2xx^2-1

Passo 4

No quociente acima, o termo dfrac2xx^2-1 tende a zero quando lvert xrverttoinfty. Logo, a assíntota oblíqua é
y = x + 1

Resposta

Assíntotas verticais: x=1 e x=-1.
Assíntota oblíqua: y = x + 1.

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