Calcule as derivadas parciais partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2, e partial^2 zpartial y partial x.
z=x y e^x y

Passo 1

O enunciado dá a função
z = x,y,e^x y
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial ypartial x.
Vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia, lembrando que x e y são variáveis independentes.

Passo 2

Para partial zpartial x consideramos y constante e aplicamos produto e cadeia a
z = xcdot l(y,e^x yr)
Derivando em relação a x:
o derivado de x é 1 vezes y,e^x y mais x vezes a derivada de y,e^x y, que é
ycdot l(e^x yr)' = ycdot l(y,e^x yr) = y^2 e^x y
Portanto
partial zpartial x = y,e^x y + x,y^2,e^x y = y,e^x yl(1 + x yr)

Passo 3

Para partial zpartial y fazemos o análogo, tratando x como constante:
z = y cdot l(x,e^x yr)
Derivando em relação a y:
partial zpartial y = x,e^x y + ycdot l(x,e^x yr)' = x,e^x y + ycdot l(x^2 e^x yr) = x,e^x y + x^2y,e^x y = x,e^x yl(1 + x yr)

Passo 4

Para partial^2 zpartial x^2 derivamos partial zpartial x=y e^x y + x y^2 e^x y em relação a x:
  1. ddxl(y e^x yr)=y^2 e^x y.
  2. ddxl(x y^2 e^x yr)=y^2 e^x y + x y^3 e^x y.
    Somando,
partial^2 zpartial x^2 = y^2 e^x y + l(y^2 e^x y + x y^3 e^x yr) = 2y^2 e^x y + x y^3 e^x y = y^2 e^x yl(2 + x yr)

Passo 5

Para partial^2 zpartial y^2 derivamos partial zpartial y=x e^x y + x^2y e^x y em relação a y:
  1. ddyl(x e^x yr)=x^2 e^x y.
  2. ddyl(x^2 y e^x yr)=x^2 e^x y + x^3y e^x y.
    Somando,
partial^2 zpartial y^2 = x^2 e^x y + l(x^2 e^x y + x^3y e^x yr) = 2x^2 e^x y + x^3y e^x y = x^2 e^x yl(2 + x yr)

Passo 6

Para partial^2 zpartial ypartial x derivamos partial zpartial x=y e^x y + x y^2 e^x y em relação a y:
  1. ddyl(y e^x yr)=e^x y + x y e^x y
  2. ddyl(x y^2 e^x yr)=2x y e^x y + x^2y^2 e^x y
    Somando,
partial^2 zpartial ypartial x = l(e^x y + x y e^x yr) + l(2x y e^x y + x^2y^2 e^x yr) = e^x yl(1 + 3x y + x^2y^2r)

Resposta

partial zpartial x = y,e^x yl(1 + x yr), partial zpartial y = x,e^x yl(1 + x yr),
partial^2 zpartial x^2 = y^2 e^x yl(2 + x yr), partial^2 zpartial y^2 = x^2 e^x yl(2 + x yr),
partial^2 zpartial ypartial x = e^x yl(1 + 3x y + x^2y^2r)

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