Ache todas as assíntotas do gráfico de cada função:
g(x)=x^2-x+1x-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as assíntotas da função
g(x)=x^2-x+1x-1
Neste tipo de problema procuramos (1) assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador se anula sem anular também o numerador; e (2) assíntotas horizontais ou oblíquas, que se determinam estudando o comportamento de g(x) quando xtopminfty. Para a parte (2), usaremos divisão de polinômios e limites.

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, analisamos as raízes do denominador. O denominador anula-se em x=1. Como o numerador em x=1 vale
1^2-1+1=1neq 0,
temos um polo simples em x=1, logo uma assíntota vertical em
x=1
Podemos confirmar que
limxto1^-g(x)=-infty e limxto1^+g(x)=+infty,
caracterizando bem a assíntota vertical.

Passo 3

Como o grau do numerador ( 2) é exatamente uma unidade maior que o do denominador ( 1), existe uma assíntota oblíqua da forma y=ax+b. Para encontrá-la fazemos a divisão de polinômios:
x^2-x+1 = (x-1)cdot x + 1,
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g(x) = x^2-x+1x-1 = x + 1x-1
Portanto, propomos y=x. Para confirmar, basta ver que
limxtopminftyl(g(x)-xr) = limxtopminfty1x-1 = 0,
mostrando que de fato y=x é a assíntota oblíqua.

Resposta

A função g tem:
x=1 como assíntota vertical,
y=x como assíntota oblíqua.

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