Exercício 1.5.1. Calcule as integrais:
Ig=integral x^2(1-4 x^3)^13 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
Ig = integral x^2l(1 - 4x^3r)^tfrac13,dx
O método mais direto aqui é usar substituição para simplificar o fator ,(1-4x^3)^1/3.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 1 - 4x^3,
pois a derivada de 1-4x^3 traz exatamente um x^2,dx.

Passo 3

Derivando, temos
du = -12,x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = -tfrac112,du

Passo 4

Substituindo em Ig, a integral se transforma em
Ig = -tfrac112integral u^tfrac13,du

Passo 5

Integramos u^1/3:
integral u^tfrac13,du = u^tfrac43tfrac43 = tfrac34,u^tfrac43
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Ig = -tfrac112cdottfrac34,u^tfrac43 + C = -tfrac116,u^tfrac43 + C

Passo 6

Voltando para a variável x com u = 1 - 4x^3, obtemos
Ig = -116,l(1 - 4x^3r)^tfrac43 + C

Resposta

Ig = -116,(1 - 4x^3)^tfrac43 + C

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