Ache todas as derivadas da função
definida por
Passo 1
O exercício pede para encontrar todas as derivadas de uma função polinomial, o que cai no conteúdo de derivação de funções usando a regra do poder (power rule) e do somatório. Vamos usar a regra que diz que, para uma função ,(x^n), a derivada é ,n x^{n-1}.
Passo 2
Aplicando a regra do poder termo a termo em ,f(x)=8x4+5x3 - x^2 +7\ para obter a primeira derivada. Para cada termo: multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em 1. Assim:
E simplificando os coeficientes:
$$
f’(x)=32x3+15x2-2x$$
Passo 3
Para a segunda derivada, aplicamos de novo a regra do poder sobre ,f’(x). Temos:
Logo:
Simplificando:
$$
f’’(x)=96x^2+30x-2$$
Passo 4
Repetindo o processo para a terceira derivada, partimos de ,f’’(x)=96x^2+30x-2. Aplicando a regra do poder:
E simplificando:
$$
f’’’(x)=192x+30$$
Passo 5
Para a quarta derivada, derivamos ,f’’’(x)=192x+30. Assim:
E obtemos uma constante:
$$
f’’’’(x)=192$$
Passo 6
A quinta derivada e todas as superiores de um polinômio de grau 4 são zero, pois derivando uma constante obtemos zero e daí em diante permanece zero.
Resposta
f’(x)=32x3+15x2-2x, f’’(x)=96x^2+30x-2, f’’’(x)=192x+30, f’’’’(x)=192, f^{(n)}(x)=0 para todo n\ge5.