Ache todas as derivadas da função f definida por
f(x)=8 x^4+5 x^3-x^2+7

Passo 1

O exercício pede para encontrar todas as derivadas de uma função polinomial, o que cai no conteúdo de derivação de funções usando a regra do poder (power rule) e do somatório. Vamos usar a regra que diz que, para uma função ,(x^n), a derivada é ,n x^{n-1}.

Passo 2

Aplicando a regra do poder termo a termo em ,f(x)=8x4+5x3 - x^2 +7\ para obter a primeira derivada. Para cada termo: multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em 1. Assim:
f'(x)=8cdot4x^3+5cdot3x^2-1cdot2x^1+0
E simplificando os coeficientes:
$$
f’(x)=32x3+15x2-2x$$

Passo 3

Para a segunda derivada, aplicamos de novo a regra do poder sobre ,f’(x). Temos:
f'(x)=32x^3+15x^2-2x
Logo:
f''(x)=32cdot3x^2+15cdot2x^1-2cdot1
Simplificando:
$$
f’’(x)=96x^2+30x-2$$

Passo 4

Repetindo o processo para a terceira derivada, partimos de ,f’’(x)=96x^2+30x-2. Aplicando a regra do poder:
f''(x)=96x^2+30x-2
f'''(x)=96cdot2x^1+30cdot1
E simplificando:
$$
f’’’(x)=192x+30$$

Passo 5

Para a quarta derivada, derivamos ,f’’’(x)=192x+30. Assim:
f'''(x)=192x+30
f''''(x)=192cdot1+0
E obtemos uma constante:
$$
f’’’’(x)=192$$

Passo 6

A quinta derivada e todas as superiores de um polinômio de grau 4 são zero, pois derivando uma constante obtemos zero e daí em diante permanece zero.

Resposta

f’(x)=32x3+15x2-2x, f’’(x)=96x^2+30x-2, f’’’(x)=192x+30, f’’’’(x)=192, f^{(n)}(x)=0 para todo n\ge5.

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