Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
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Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive cruzadas) da função
f(x,y)=∫ₓʸ ln(sin t) dt. O conteúdo aqui é derivação de integrais com limites variáveis usando o teorema fundamental do cálculo e a regra de Leibniz: se F(x,y)=∫_{a(x)}^{b(y)} f(t)dt então ∂F/∂x = -f(a(x))·a’(x) e ∂F/∂y = f(b(y))·b’(y).
f(x,y)=∫ₓʸ ln(sin t) dt. O conteúdo aqui é derivação de integrais com limites variáveis usando o teorema fundamental do cálculo e a regra de Leibniz: se F(x,y)=∫_{a(x)}^{b(y)} f(t)dt então ∂F/∂x = -f(a(x))·a’(x) e ∂F/∂y = f(b(y))·b’(y).
Passo 2
Aplicando a regra de Leibniz para as derivadas de primeira ordem em relação a x e y:
Temos
Aqui usamos que o limite inferior é x (gera o sinal “-”), e o superior é y.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem puras, derivando f_x em relação a x e f_y em relação a y:
Passo 4
Por fim, as derivadas cruzadas. Como f_x não depende de y e f_y não depende de x, temos
Resposta
f_x(x,y)= -\ln(\sin x), f_y(x,y)= \ln(\sin y), f_{xx}(x,y)= -\cot x, f_{yy}(x,y)= \cot y, f_{xy}(x,y)= f_{yx}(x,y)=0