Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
f(x, y)=integralx^y ln (sin t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive cruzadas) da função
f(x,y)=∫ₓʸ ln(sin t) dt. O conteúdo aqui é derivação de integrais com limites variáveis usando o teorema fundamental do cálculo e a regra de Leibniz: se F(x,y)=∫_{a(x)}^{b(y)} f(t)dt então ∂F/∂x = -f(a(x))·a’(x) e ∂F/∂y = f(b(y))·b’(y).

Passo 2

Aplicando a regra de Leibniz para as derivadas de primeira ordem em relação a x e y:
Temos
fx(x,y)= -ln(sin x)
fy(x,y)= ln(sin y)
Aqui usamos que o limite inferior é x (gera o sinal “-”), e o superior é y.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem puras, derivando f_x em relação a x e f_y em relação a y:
fxx(x,y)= -ddxln(sin x)= -cot x
fyy(x,y)= ddyln(sin y)= cot y

Passo 4

Por fim, as derivadas cruzadas. Como f_x não depende de y e f_y não depende de x, temos
fxy(x,y)=0
fyx(x,y)=0

Resposta

f_x(x,y)= -\ln(\sin x), f_y(x,y)= \ln(\sin y), f_{xx}(x,y)= -\cot x, f_{yy}(x,y)= \cot y, f_{xy}(x,y)= f_{yx}(x,y)=0

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